등간격 사다리 위의 페르미온과 보손

모형

1차원 조화 진동자처럼 겹침이 없고 간격이 일정한 단일 입자 준위 \(0, \epsilon, 2\epsilon, \dots\)와, 스핀 방향이 하나뿐인 같은 입자 \(N\)개로 된 고립계를 생각합니다. \(q\)는 바닥 상태 위의 에너지 단위 수입니다. 기본 가정에 따라 같은 \(q\)를 갖는 미시 상태는 모두 같은 확률로 나타납니다.

페르미온(\(q < N\)). 바닥 상태에서는 가장 낮은 \(N\)개의 준위가 차 있습니다. 들뜬 상태는 맨 위 전자를 \(\lambda_1\)칸, 그 아래 전자를 \(\lambda_2 \le \lambda_1\)칸, 하는 식으로 올려서 만들 수 있습니다. 아래로 갈수록 올리는 칸 수가 늘어나면 두 페르미온이 같은 준위에 놓이게 되므로 이 순서가 필요합니다. (아래에서는 \(q = 0\)일 때 채워진 최고 준위를 \(\ell = 0\)으로 하여 준위를 \(\ell\)로 표시합니다.) 따라서 미시 상태는 \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots\), \(\sum \lambda_i = q\)인 목록, 즉 \(q\)의 분할입니다.

보손(\(N\)이 큰 경우). 보손은 어느 준위에나 여럿이 들어갈 수 있습니다. 미시 상태는 바닥 준위를 떠난 보손들의 들뜸 에너지로 정해지는데, 이 역시 합이 \(q\)인 양의 정수들의 목록이며 순서는 상관없으므로 \(q\)의 분할입니다.

그러므로 두 계의 미시 상태 수는 똑같이 분할 수입니다.

\[ \Omega(q) = p(q):\quad 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 15,\ 22,\ 30,\ 42,\ 56,\ 77,\ \dots \]

어떤 준위의 점유수는 그 준위에 입자가 있는 미시 상태의 수(보손이면 입자 수의 합)를 \(\Omega(q)\)로 나눈 값입니다. \(q = 6\)이면 페르미 간격 바로 위 준위들의 점유 확률은 \(5/11, 4/11, 3/11, 2/11, 1/11, 1/11, 0\)이고, 바로 아래 준위들은 이와 대칭으로 \(6/11, 7/11, \dots, 1\)입니다. 보손 준위 \(j = 1, 2, 3, \dots\)에는 평균 \(19/11, 8/11, 4/11, 2/11, 1/11, 1/11\)개의 보손이 있습니다.

열역학적 극한에서 이 점유수는 다음을 따라야 합니다.

\[ \bar n_{\rm FD}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/(k_BT)}+1}, \qquad \bar n_{\rm BE}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/(k_BT)}-1}. \]

\(q\)가 작더라도, 어떤 \(\mu\)와 \(T\)를 넣어야 곡선이 정확한 점들에 가장 가깝게 지나가는지 물을 수 있습니다. 이 페이지는 가중치 없는 최소제곱 맞춤(Nelder–Mead 방법으로 잔차 제곱합을 최소화)을 합니다. 슬라이더로 직접 고른 값과 최적 맞춤을 비교해 보세요. 에너지는 \(\epsilon\) 단위, 온도는 \(\epsilon/k_B\) 단위입니다.

Python으로 맞추기

비선형 최소제곱 맞춤을 할 수 있는 도구라면 무엇이든 됩니다. SciPy로 \(q = 6\)인 경우를 맞추면 다음과 같습니다.

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit

# 페르미온: q = 0일 때 채워진 최고 준위를 0으로 잡은 준위 에너지
e = np.arange(-6, 8)
P = np.array([11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 0]) / 11
fd = lambda e, mu, T: 1 / (np.exp((e - mu) / T) + 1)
(mu, T), _ = curve_fit(fd, e, P, p0=[0.5, 2])
print(mu, T)          # 0.500  2.245

# 보손: 준위 j = 1, ..., 7 (바닥 준위는 제외)
j = np.arange(1, 8)
n = np.array([19, 8, 4, 2, 1, 1, 0]) / 11
be = lambda e, mu, T: 1 / (np.exp((e - mu) / T) - 1)
(mu, T), _ = curve_fit(be, j, n, p0=[-0.1, 2], bounds=([-10, 0.1], [0, 50]))
print(mu, T)          # -0.040  2.284

맞춘 값은 어떤 준위를 포함하는지, 잔차에 어떤 가중치를 주는지에 따라 조금씩 달라집니다. 여기서 페르미온은 \(-q\)부터 \(q+1\)까지의 모든 준위, 보손은 \(j = 1\)부터 \(q+1\)까지를 썼으며, 이렇게 하면 이 페이지에 나온 값이 그대로 나옵니다.

페르미온과 보손의 \(\Omega(q)\)가 같으므로 엔트로피 \(S/k_B = \ln \Omega(q)\)도 같습니다. 온도는 기울기에서 얻습니다.

\[ \frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial U} \quad\Longrightarrow\quad k_BT \approx \epsilon\,\frac{\Delta q}{\Delta (S/k_B)}. \]

\(q\)가 크면 Hardy–Ramanujan 공식 \(p(q) \approx e^{\pi\sqrt{2q/3}}/(4\sqrt3\,q)\)에서 \(S/k_B \approx \pi\sqrt{2q/3}\)이고 \(k_BT \approx \sqrt{6q}\,\epsilon/\pi\)인데, 이는 Arnaud 등이 제시한 결과입니다.

Arnaud 등은 페르미온 사다리를 같은 (평균) 에너지에서 세 가지 상황으로 비교합니다. 고립계는 정확히 \(q\)만큼의 에너지를 가집니다. 정준 앙상블에서는 계가 열원과 에너지를 주고받으며, 페르미 간격 위 \(\kappa = \ell - \tfrac12 > 0\)인 준위의 점유수는 다음과 같습니다.

\[ \langle N_\kappa\rangle_c = -\sum_{i\ge1} (-1)^i\, x^{\,i(\kappa + i/2)}, \qquad x = e^{-\epsilon/(k_BT)}, \qquad \langle q\rangle = \sum_{n\ge1}\frac{n\,x^n}{1-x^n}. \]

대정준 앙상블에서는 입자도 주고받으며, 점유수는 정확히 페르미–디랙 분포 \(\langle N_\kappa\rangle_{\rm FD} = 1/(x^{-\kappa}+1)\)이고 \(\langle q\rangle_{\rm FD} = \sum_{n\ \rm 홀수} n/(x^{-n/2}+1)\)입니다. 세 경우는 열역학적 극한에서 일치하지만, 작은 계에서는 특히 꼬리 부분에서 눈에 띄게 다릅니다.

덧붙임

페르미온과 보손의 미시 상태 수가 같은 이유. 같은 분할이 두 계를 모두 기술하며, 그 대응은 더 깊습니다. 입자와 구멍을 맞바꾸고 에너지 눈금을 뒤집으면 페르미온 미시 상태 하나가 다른 미시 상태(켤레)로 바뀌는데, 이는 분할의 영 도표(Young diagram)를 전치하는 것에 해당합니다. Schönhammer와 Meden은 이런 대응을 이용해 1차원에서의 페르미온–보손 "변환"을 논의했습니다.

작은 고립계에서 페르미–디랙 분포는 얼마나 잘 맞을까? 페르미 준위 근처에서는 \(q = 6\)에서도 맞춤이 꽤 괜찮지만, 정확한 점유수는 \(\kappa = q + \tfrac12\)에서 0이 되는 반면 페르미–디랙 분포는 여전히 작은 양수를 줍니다. Arnaud 등은 \(q = 6000\)에서도 점유수가 \(10^{-4}\) 정도인 꼬리에서는 고립계와 페르미–디랙 분포가 10% 넘게 차이 남을 보였습니다.

열용량. 열역학적 극한에서 \(U - U_0 \approx \pi^2 (k_BT)^2/6\epsilon\)이므로 \(C = dU/dT \approx \pi^2 k_B^2 T/3\epsilon\)입니다. 금속 속 전자처럼 전자 열용량이 \(T\)에 비례합니다.