제8장 갈래치기 다시 보기: 결합된 진동자와 준주기성, 푸앵카레 사상

8.6

결합된 진동자와 준주기성coupled oscillators and quasiperiodicity

토러스는 두 개의 각도 변수를 가진 시스템 $\dot{\theta}_{1} = f_{1}(\theta _{1}, \theta _{2})$ , $\dot{\theta}_{2} = f_{2}(\theta _{1}, \theta _{2})$ 의 자연스러운 위상 공간이다. 결합된 진동자(coupled oscillator)에 대한 간단한 모형은

\begin{aligned}\dot{\theta}_{1}&=\omega_{1}+K_{1}\sin(\theta_{2}-\theta_{1})\\ \dot{\theta}_{2}&=\omega_{2}+K_{2}\sin(\theta_{1}-\theta_{2})\end{aligned}

이다. $\theta _{1}, \theta _{2}$ 는 진동자들의 위상(phase), $\omega _{1}, \omega _{2} > 0$ 은 고유 진동수(natural frequency), $K_{1}, K_{2} \ge 0$ 은 결합 상수(coupling constant)다. 인간의 일주기(circadian) 리듬과 수면-각성 주기 사이의 상호 작용을 모형화하는 데 사용됐다.

2개 진동자로 된 구라모토(Kuramoto) 모형! 원서 3판에는 13장으로 구라모토 모형이 추가됨

직관적으로는 원형 트랙에서 조깅하는 두 친구를 상상하면 된다. 각자 선호하는 속력 $\omega _{1}, \omega _{2}$ 가 있지만, 친구이니 같이 뛰고 싶어서 $K \sin (\cdot )$ 항으로 속력을 조정하며 타협한다. 토러스의 곡면에 위상 그림을 그리기는 어려우니 주기적인 경계 조건(periodic boundary condition)을 갖는 정사각형을 쓴다. 궤적이 가장자리를 벗어나면 비디오 게임에서처럼 반대편 가장자리에 다시 나타난다.

분리된 시스템 (K₁ = K₂ = 0)

궤적은 기울기 $\mathrm{d}\theta _{2}/\mathrm{d}\theta _{1} = \omega _{2}/\omega _{1}$ 인 직선들이다. 기울기가 유리수인지 무리수인지에 따라 정성적으로 다른 두 가지 경우가 있다.

유리수: 공통 소인수가 없는 정수 쌍 $p, q$ 에 대해 $\omega _{1}/\omega _{2} = p/q$ 이면 모든 궤적은 토러스에서 닫힌 궤도다. $\theta _{1}$ 이 정확히 $p$ 번 회전하는 동안 $\theta _{2}$ 가 $q$ 번 회전하기 때문이다. $p = 3, q = 2$ 이면 토러스 위의 궤적은 세잎매듭(trefoil knot)이다. 일반적으로 $p:q$ 토러스 매듭이라고 한다. 모든 궤적이 닫혀 있으니 고립되어 있지 않아 극한 주기 궤도는 아니다.
무리수: 흐름은 준주기적(quasiperiodic)이다. 모든 궤적은 토러스 주변을 끊임없이 감싸는데, 결코 교차하지도 완전히 닫히지도 않는다. 각 궤적은 토러스에서 조밀하다(dense). 토러스의 특정 지점에 임의로 가까워진다(실제로 통과한다는 뜻은 아니다).

준주기성은 고정점, 닫힌 궤도, 같은 모임 궤도와 달리 토러스에서만 발생하는 새로운 유형의 장기적 행동이다.

결합된 시스템 (K₁, K₂ > 0)

위상차(phase difference) $\varphi = \theta _{1} - \theta _{2}$ 를 보면

\dot{\varphi} = \omega _{1} - \omega _{2} - (K_{1} + K_{2}) \sin \varphi

로, 4.3절의 불균일한(nonuniform) 진동자다. $|\omega _{1} - \omega _{2}| < K_{1} + K_{2}$ 이면 고정점이 2개, $|\omega _{1} - \omega _{2}| > K_{1} + K_{2}$ 이면 없다. $|\omega _{1} - \omega _{2}| = K_{1} + K_{2}$ 일 때 안장점 갈래치기가 발생한다. 고정점이 있으면 궤적은 일정한 위상차 $\varphi ^{*}$ 로 분리된 위상이 고정된(phase-locked) 안정적인 해에 접근한다. 두 진동자는 상수 진동수

\omega^{*}=\frac{K_{1}\omega_{2}+K_{2}\omega_{1}}{K_{1}+K_{2}}

로 움직인다. 두 고유 진동수 사이에 있으니 절충 진동수(compromise frequency)라고 한다. 진동수는 결합 강도에 비례하는 양만큼 이동한다: $|\Delta \omega _{1}/\Delta \omega _{2}| = K_{1}/K_{2}$ .

질량중심(center of mass)과 같은 느낌: ω₁, ω₂가 좌표, K₁, K₂가 질량

토러스 위에서 고정된 해들은 기울기 1인 대각선으로 나타난다. 고유 진동수들을 떨어뜨려 $|\omega _{1} - \omega _{2}| = K_{1} + K_{2}$ 가 되면 안정적인 고정 해와 불안정한 고정 해가 서로 접근해 합쳐진다. 고정된 해는 순환 궤도의 안장점 갈래치기(8.4절)에서 파괴된다. 그 후의 흐름은 결합되지 않은 경우처럼 준주기 또는 유리수 비율에 해당하는 흐름이며, 궤적이 직선이 아니라 곡선이라는 점만 다르다.

\omega _{1}

\omega _{2}

K_{1}

K_{2}

토러스 위의 같은 궤적

원형 트랙의 두 주자 (θ₁ 분홍, θ₂ 파랑)

위상차의 흐름 $\dot{\varphi} = \omega _{1} - \omega _{2} - (K_{1} + K_{2}) \sin \varphi$

8.7

푸앵카레 사상Poincaré maps

8.5절에서는 푸앵카레 사상으로 구동 진자와 조지프슨 접합의 주기적 궤도의 존재를 증명했다. 푸앵카레 사상은 주기적 궤도 근처의 흐름(또는 일부 카오스 시스템의 흐름)과 같은 소용돌이 흐름(swirling flow)을 연구하는 데 유용하다.

$n$ 차원 시스템 $\dot{x} = f(x)$ 에서 $S$ 를 단면의 $n - 1$ 차원 표면이라고 하자. $S$ 는 흐름을 가로질러야 한다. 즉 $S$ 에서 시작하는 모든 궤적은 표면과 평행하지 않고 표면을 통해 흘러야 한다. 푸앵카레 사상 $P$ 는 궤적과 $S$ 의 한 교차점에서 다음 교차점까지 따라가서 얻는, $S$ 에서 자신으로의 사상이다.

x_{k+1} = P(x_{k})

$P(x^{*}) = x^{*}$ 인 고정점이 있으면 $x^{*}$ 에서 시작하는 궤적은 일정 시간 $T$ 후에 $x^{*}$ 로 돌아오니 원래 시스템의 닫힌 궤도다. 고정점 근처에서 $P$ 의 행동을 보면 닫힌 궤도의 안정성도 알 수 있다. 푸앵카레 사상은 닫힌 궤도에 대한 (어려운) 문제를 사상의 고정점에 대한 문제로 바꾼다. 걸림돌은 일반적으로 $P$ 의 공식을 찾는 것이 불가능하다는 점이다.

예제 8.7.1

극좌표에서 $\dot{r} = r(1 - r^{2}), \dot{\theta} = 1$ 이고 $S$ 를 양의 $x$ 축으로 두자. $\dot{\theta} = 1$ 이니 $S$ 로 처음 돌아오는 것은 비행 시간(time of flight) $t = 2\pi$ 후다. $\int \mathrm{d}r/[r(1 - r^{2})] = 2\pi$ 를 계산하면

P(r)=\left[1+e^{-4\pi}\left(r^{-2}-1\right)\right]^{-1/2}

이다. 고정점은 그래프가 45° 선과 교차하는 $r^{*} = 1$ 이다. 거미줄(cobweb) 구성으로 사상을 반복할 수 있다. 입력 $r_{k}$ 에서 $P$ 의 그래프까지 수직선을 그리면 그 높이가 출력 $r_{k+1}$ 이고, 45° 대각선까지 수평선을 그려 새 입력으로 삼아 반복한다. 거미줄이 $r^{*} = 1$ 로 모이니 안정적이고 고유하다.

데모 메모교재의 시스템에서는 $e^{-4\pi } \approx 3.5 \times 10^{-6}$ 이라 거미줄이 한 번에 수렴해 눈에 보이지 않는다. 그래서 데모에서는 $\dot{r} = c\cdot r(1 - r^{2})$ 로 일반화해 $c$ 를 줄여 볼 수 있게 했다. 그러면 $P(r) = [1 + e^{-4\pi c}(r^{-2} - 1)]^{-1/2}$ 이고, $c = 1$ 이 교재의 경우다.

c

0.08

위상 평면과 단면 S (양의 x축)

거미줄 구성: 누르면 그 r에서 다시 시작

“한 번 반복”을 누를 때마다 궤적이 원점 주위를 한 바퀴 돌아 S에 다시 닿고, 오른쪽에서 거미줄이 한 칸 그려집니다.

예제 8.7.2 사인파로 구동되는 RC 회로

\dot{x} + x = A \sin \omega t,\qquad \omega > 0

이 책에서 논의한 몇 안 되는 시간 의존 시스템 중 하나다. 이런 시스템은 새로운 변수를 추가해 항상 시간 독립적으로 만들 수 있다. $\theta = \omega t$ 를 도입하면 $\dot{\theta} = \omega$ , $\dot{x} + x = A \sin \theta$ 이니 원통 위의 벡터장이다. 원통 위의 어떤 수직선도 적절한 단면이 되므로 $S = \{(\theta , x): \theta = 0 \mod 2\pi \}$ 로 하자. 연속되는 교차점 사이의 비행 시간은 $2\pi /\omega$ 이다. 물리적으로는 구동 순환당 한 번 시스템을 비추고 $x$ 의 값들을 보는 것이다.

일반해는 동차해(homogeneous solution)와 특수해(particular solution)의 합 $x(t) = c_{1}e^{-t} + c_{2} \sin \omega t + c_{3} \cos \omega t$ 이고, $c_{2}, c_{3}$ 는 초기 조건에 의존하지 않는다. 그러면

P(x_{0}) = x_{0} e^{-2\pi /\omega } + c_{4},\qquad c_{4} = c_{3}(1 - e^{-2\pi /\omega })

이다. $P$ 의 그래프는 기울기 $e^{-2\pi /\omega } < 1$ 인 직선이니 고유한 점 $x^{*} = c_{3}$ 에서 45° 대각선과 교차하고, 거미줄을 그려 보면 각 반복마다 일정한 비율로 가까워진다. 고정점은 고유하고 전역적으로 안정적이다. RC 회로는 초기 조건에 관계없이 항상 동일한 강제 진동으로 안정화된다. 기초 물리학의 친숙한 결과를 새로운 방식으로 본 것이다.

A

2.00

\omega

4.00

푸앵카레 사상 $P(x) = x e^{-2\pi /\omega } + c_{4}$ 와 거미줄

위 원통(좌우 경계가 이어짐)을 누르면 그 높이에서 궤적이 출발합니다. θ = 0을 지날 때마다 찍히는 점이 푸앵카레 사상의 반복이고, 아래 거미줄과 같은 수열을 이룹니다.

주기적 궤도의 선형 안정성

닫힌 궤도가 안정적인지는 푸앵카레 사상의 고정점 $x^{*}$ 가 안정적인지 묻는 것과 같다. $x^{*} + v_{0}$ 가 $S$ 에 있는 무한소 섭동(infinitesimal perturbation)이라 하면, 처음 $S$ 로 돌아온 뒤

x^{*} + v_{1} = P(x^{*} + v_{0}) = x^{*} + [DP(x^{*})]v_{0} + O(\|v_{0}\|^{2})

이고, $DP(x^{*})$ 는 선형화된 푸앵카레 사상(linearized Poincaré map)이라 하는 $(n - 1) \times (n - 1)$ 행렬이다. 닫힌 궤도가 선형적으로 안정적일 필요충분조건은 모든 $j = 1, \dots , n - 1$ 에 대해 $|\lambda _{j}| < 1$ 이다. 고유벡터 기저로 전개하면 $v_{k} = \sum v_{j}(\lambda _{j})^{k} e_{j}$ 이니, 모든 $|\lambda _{j}| < 1$ 이면 기하급수적으로 빠르게 $\|v_{k}\| \to 0$ 이다. 어떤 $|\lambda _{j}| > 1$ 이면 불안정하고, 가장 큰 고윳값의 크기가 정확히 1이면 경계에 걸친 경우로 주기적 궤도의 갈래치기에서 발생하며 비선형 안정성 분석이 필요하다.

$\lambda _{j}$ 를 주기적 궤도의 특성(characteristic) 또는 플로케 승수(Floquet multiplier)라고 한다. 주기적 궤도를 따라 가해지는 섭동에 해당하는 자명한 승수 $\lambda \equiv 1$ 이 항상 있지만, 단순한 시간 변환(time-translation)이니 무시한다. 일반적으로는 수치 적분이 필요하다.

예제 8.7.3. 예제 8.7.1의 극한 주기 궤도에서 $r = 1 + \eta$ 로 두고 선형화하면 $\dot{\eta} = -2\eta$ , 비행 시간 $2\pi$ 후 $\eta _{1} = e^{-4\pi }\eta _{0}$ 이다. 특성 승수는 $e^{-4\pi }$ 이고 $|e^{-4\pi }| < 1$ 이니 선형적으로 안정적이다. 2차원 시스템에서 선형화된 푸앵카레 사상은 $1 \times 1$ 행렬, 곧 숫자 하나다. 위 거미줄 데모의 “수치 P′(r*)”가 바로 이 값이다.

예제 8.7.4 결합된 조지프슨 접합

\dot{\varphi}_{i}=\Omega+a\sin\varphi_{i}+\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}\sin\varphi_{j},\qquad i=1,\dots,N

저항 부하(resistive load)와 병렬로 연결된 과감쇠 조지프슨 접합들을 직렬로 연결했을 때의 동역학이다. 모든 접합이 같은 위상(in-phase)으로 진동하는 해 $\varphi _{1} = \cdots = \varphi _{N} = \varphi ^{*}(t)$ 는 $\dot{\varphi}^{*} = \Omega + (a + 1) \sin \varphi ^{*}$ 를 따르고, $|\Omega | > |a + 1|$ 이면 주기적이다.

$\varphi _{i} = \varphi ^{*} + \eta _{i}$ 로 두고 선형화한 뒤 $\xi _{i} = \eta _{i+1} - \eta _{i}$ 로 바꾸면 $\dot{\xi}_{i} = [a \cos \varphi ^{*}]\xi _{i}$ 이고, 식 $\mathrm{d}\varphi ^{*}/\mathrm{d}t = \Omega + (a + 1) \sin \varphi ^{*}$ 로 $\mathrm{d}t$ 를 없애 한 바퀴 적분하면

\ln\frac{\xi_{i}(T)}{\xi_{i}(0)}=\frac{a}{a+1}\Big[\ln\big(\Omega+(a+1)\sin\varphi^{*}\big)\Big]_{0}^{2\pi}=0

이다. 한 주기가 지나도 모든 섭동이 변하지 않으니 모든 특성 승수가 $\lambda _{j} = 1$ 이고, 같은 위상 상태는 (선형적으로) 중립적으로 안정하다. 기술적으로는 실망스럽다. 결맞은 진동에 고정되어 출력 전력을 크게 늘리기를 원하기 때문이다. 무시한 비선형 항도 같은 위상 상태를 안정화하지 못한다는 것을 가역성(reversibility)에 기반한 논증으로 보일 수 있다(연습문제 8.7.11).

N

6

a

0.50

\Omega

2.00

각 접합의 위상 φ_i (원 위의 점)

섭동의 크기: 한 주기마다 찍은 값

점들의 간격은 한 주기 안에서는 늘었다 줄었다 하지만, 한 바퀴를 돌 때마다 같은 값으로 돌아옵니다(오른쪽 점들이 수평선을 이룸). 줄어들지도 커지지도 않는 중립적 안정성입니다.

참고문헌references

스티븐 스트로가츠, 『비선형 동역학과 카오스 2/e』 (에이콘출판사, 2025). 8장 「갈래치기 다시 보기」. 이 데모의 용어와 예제 번호는 이 번역서를 따랐습니다.
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: 2nd Edition (Westview Press, 2014). 원서.
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, 3rd ed. (CRC Press, 2024). 13장 「Kuramoto Model」. 결합된 진동자를 더 깊이 공부하려면.
Shane D. Ross, 토러스 위의 흐름과 결합된 진동자 강의 영상.
Phase Plane Plotter, aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html. 강의에서 Shane Ross 교수의 강의 영상을 통해 소개한 위상 평면 도구로, 더 다양한 시스템을 직접 그려 볼 수 있습니다.