제8장 갈래치기 다시 보기: 화학 진동자, 전역적 갈래치기, 조지프슨 접합

8.3

진동하는 화학반응oscillating chemical reactions

벨루소프의 ‘발견했다는 발견’

1950년대 초 러시아의 생화학자 보리스 벨루소프(Boris Belousov)는 크렙스(Krebs) 순환을 시험관에서 흉내 내려다가, 세륨(cerium) 촉매가 있는 황산 용액에서 구연산과 브롬산 이온을 혼합하자 혼합물이 노랗게 변했다가 약 1분 후에 무색으로 바래고 다시 노랗게 되는 진동을 관찰했다. 당시에는 열역학 법칙 때문에 모든 용액은 단조롭게 평형에 도달해야 한다고 생각했고, 그의 논문은 차례차례 게재 거부됐다.

1961년 대학원생 자보틴스키(Zhabotinsky)가 벨루소프가 옳았음을 확인했고, 1968년 프라하 국제학회 발표로 연구는 드디어 빛을 보게 된다. 이 반응이 BZ 반응이다. BZ 시약의 얇은 층에서는 산화(oxidation) 파동이 동심원 고리 또는 나선 모양으로 전파되며, 나선파와 그 3차원 유사체인 스크롤파(scroll wave)는 특정한 심장 부정맥과 관련이 있는 것으로 보인다. 1980년 벨루소프와 자보틴스키는 레닌상을 수상했지만, 벨루소프는 10년 전에 이미 세상을 떠났다.

BZ 반응 영상: Shane Ross 교수의 강의 영상에서 소개

이산화염소-아이오딘-말론산 반응

BZ 반응은 20개 이상의 기본 반응 단계를 포함하지만, 많은 단계는 빠르게 평형을 이룬다. 렝곌 등[Lengyel et al. 1990]은 이산화염소(chlorine dioxide)-아이오딘(iodine)-말론산(malonic acid) 반응에서 느린 반응물의 농도를 상수로 근사해 2변수 모형으로 축약했다.

\dot{x}=a-x-\frac{4xy}{1+x^{2}},\qquad\dot{y}=bx\left(1-\frac{y}{1+x^{2}}\right)

$x$ 와 $y$ 는 각각 I⁻와 ClO₂⁻의 차원 없는 농도이고, $a, b > 0$ 이다.

예제 8.3.1. 영점선은 $\dot{x} = 0$ : $y = (a - x)(1 + x^{2})/(4x)$ , $\dot{y} = 0$ : $y$ 축과 포물선 $y = 1 + x^{2}$ 이다. 네모칸 $0 \le x \le a$ , $0 \le y \le 1 + a^{2}$ 의 경계 위 모든 벡터가 안쪽을 가리키니 가두는 영역이다. 하지만 내부에 고정점 $x^{*} = a/5$ , $y^{*} = 1 + (a/5)^{2}$ 가 있다. 이 점에서

\Delta=\frac{5bx^{*}}{1+x^{*2}}>0,\qquad\tau=\frac{3x^{*2}-5-bx^{*}}{1+x^{*2}}

이다. $\Delta > 0$ 이니 안장점일 수 없고, $\tau > 0$ 이면 밀개다. 곧 $b < b_{c} = 3a/5 - 25/a$ 이면 구멍 난 네모칸 어딘가에 닫힌 궤도가 있어야 한다.

예제 8.3.2. $b$ 가 $b_{c}$ 를 통과하며 감소하면 고정점이 안정적인 나선에서 불안정한 나선으로 변하고, 안정적인 극한 주기 궤도에 둘러싸인다. 초임계 호프 갈래치기다.

예제 8.3.3. 진동수는 갈래치기점에서 고윳값의 허수 부분으로 근사할 수 있다. $b = b_{c}$ 에서 $\tau = 0$ 이니 $\lambda = \pm i\sqrt{\Delta}$ 이고

T\approx\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{a^{2}+25}{15a^{2}-625}}

이다. $a \to \infty$ 일 때 $T \to 2\pi /\sqrt{15} \approx 1.62$ 가 된다.

a

10.0

b

2.0

ẋ = 0 영점선ẏ = 0: y = 1 + x²경계에서 안쪽으로 향함

안정성 다이어그램 $(a, b)$ : 누르면 그 값으로 바뀝니다

8.4

순환 궤도의 전역적 갈래치기global bifurcations of cycles

2차원 시스템에서 극한 주기 궤도가 생기거나 없어지는 일반적인 방법은 네 가지다. 호프 갈래치기가 가장 유명하지만, 나머지 세 가지는 단일 고정점 근처가 아니라 위상 평면의 넓은 영역에 대한 것이어서 감지하기가 더 어렵다. 그래서 이것들을 전역적 갈래치기(global bifurcation)라고 한다.

순환 궤도의 안장점 갈래치기

2개의 극한 주기 궤도가 합쳐지고 사라지는 갈래치기로, 순환 궤도의 접힘 또는 안장점 갈래치기라고 한다. 예시는 8.2절의 $\dot{r} = \mu r + r^{3} - r^{5}$ 에서 $\mu < 0$ 일 때의 동역학이다. 반지름 방향 방정식(radial equation)을 1차원 시스템으로 보면 $\mu _{c} = -1/4$ 에서 고정점이 안장점 갈래치기를 거치고, 2차원으로 돌아오면 이 고정점들은 원형의 극한 주기 궤도다. $\mu _{c}$ 에서 반쯤 안정한 주기가 난데없이 생기고, $\mu$ 가 증가하면 안정적인 것과 불안정한 것 한 쌍으로 쪼개진다. 원점은 언제나 안정적이며 이 갈래치기에 참여하지 않는다. 생겨날 때 이미 $O(1)$ 인 진폭이 있다는 점이 호프 갈래치기와 다르다.

무한 주기 갈래치기 (infinite-period bifurcation)

\dot{r} = r(1 - r^{2}),\qquad \dot{\theta} = \mu - \sin \theta ,\qquad \mu \ge 0

반지름 방향에서는 모든 궤적( $r^{*} = 0$ 제외)이 단위 원에 접근한다. $\mu > 1$ 이면 모든 곳에서 반시계 방향으로 움직이고, $\mu < 1$ 이면 $\sin \theta = \mu$ 로 정의되는 2개의 불변 반직선(ray)이 있다. $\mu \to 1^{+}$ 이면 $\theta = \pi /2$ 에서 병목현상이 점점 심각해져 주기가 길어지고, $\mu _{c} = 1$ 에서 무한대가 된다. 진폭은 $O(1)$ 로 유지되지만 주기는 $(\mu - \mu _{c})^{-1/2}$ 처럼 증가한다. 이 경우 정확한 주기는 $T = 2\pi /\sqrt{\mu ^{2} - 1}$ 이다(예제 4.3.2).

같은 모임 갈래치기 (homoclinic bifurcation)

극한 주기 궤도의 일부가 안장점에 점점 더 가까워지다가, 갈래치기가 일어나는 지점에서 안장점에 닿아 같은 모임 궤도(homoclinic orbit)가 된다. 또 다른 종류의 무한 주기 갈래치기이며, 혼동을 피하기 위해 안장 고리(saddle-loop) 또는 같은 모임 갈래치기라고 한다. 해석적으로 다루기 쉬운 예시가 드물어 컴퓨터에 의존한다.

\dot{x} = y,\qquad \dot{y} = \mu y + x - x^{2} + xy

수치적으로 갈래치기는 $\mu _{c} \approx -0.8645$ 에서 일어난다. $\mu < \mu _{c}$ 이면 안정적인 극한 주기 궤도가 원점의 안장점 근처를 지나가고, $\mu$ 가 커지면 극한 주기 궤도가 부풀어 오르다가 안장점에 충돌해 같은 모임 궤도를 이룬다. $\mu > \mu _{c}$ 이면 고리가 사라진다. 핵심은 원점을 북동쪽으로 떠나는 안장점의 불안정한 다양체의 행동이다.

\mu

−0.200

척도 조정 법칙 (scaling law)

각 갈래치기에는 갈래치기에 접근함에 따라 극한 주기 궤도의 진폭과 주기를 결정하는 특징적인 척도 조정 법칙이 있다. 갈래치기 지점으로부터의 거리를 나타내는 차원 없는 양을 $\mu \ll 1$ 이라 하면(표 8.4.1):

	안정적인 극한 주기 궤도의 진폭	주기
초임계 호프	O(μ^1/2)	O(1)
궤도의 안장점 갈래치기	O(1)	O(1)
무한 주기	O(1)	O(μ^−1/2)
같은 모임	O(1)	O(ln μ)

실험 과학자라면, 조절 매개변수를 바꿔 진동이 멈출 때 갈래치기점 근처의 주기와 진폭의 척도 조정을 살펴서 (정확히 알려지지 않은) 시스템의 동역학에 대해 배울 수 있다. 가능한 모형을 소거하거나 추천할 수 있는 것이다.

예제 8.4.1 표에 맞지 않는 반 데르 폴 진동자?

$\ddot{x} + \varepsilon \dot{x}(x^{2} - 1) + x = 0$ 에서 원점의 야코비 행렬은 $\begin{gathered}\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & \varepsilon \end{pmatrix}\end{gathered}$ 이니 $\varepsilon = 0$ 에서 고윳값이 순허수 $\lambda = \pm i$ 이고, 호프 갈래치기가 일어난다. 그런데 7.6절에서 배웠듯이 $0 < \varepsilon \ll 1$ 이면 진폭 $r \approx 2$ 의 극한 주기 궤도가 있다. 척도 조정 법칙이 예측하는 $O(\varepsilon ^{1/2})$ 가 아니라 ‘다 자란’ 상태로 태어난다. 왜일까?

풀이. $\varepsilon = 0$ 에서의 갈래치기는 겹쳐져(degenerate) 있다. 비선형 항 $\varepsilon \dot{x}x^{2}$ 이 고윳값이 허수 축을 지나가는 순간과 정확히 동일한 매개변숫값에서 사라진다. 참으로 일반적이지 않은 우연의 일치다! $u = \varepsilon ^{1/2}x$ 로 크기를 재조정하면 $ü + u + u^{2}\dot{u} - \varepsilon \dot{u} = 0$ 이 되어 비선형 항이 더 이상 사라지지 않는다. 그러면 $u(t, \varepsilon ) \approx 2\varepsilon ^{1/2} \cos t$ 이니, 호프 갈래치기에 대해 예상되는 것처럼 진폭이 $\varepsilon ^{1/2}$ 로 커진다.

8.5

구동 진자와 조지프슨 접합의 다른길오고감driven pendulum and Josephson junction

같은 모임 갈래치기와 무한 주기 갈래치기가 모두 발생하는 물리적 문제다. 4장에서는 질량(진자) 또는 정전용량(조지프슨 접합)을 무시할 수 있는 과감쇠 극한(overdamped limit)만 다뤘다. 이제 완전한 2차원 문제를 풀 때다. 충분히 약한 감쇠에서는 안정적인 극한 주기 궤도와 안정점이 공존하는 쌍안정성(bistability) 덕분에 다른길오고감이 생긴다. 진자는 맨 위쪽을 통과해 회전하거나, 중력과 균형을 이루며 가만히 있는 상태로 정착할 수 있다.

지배 방정식

조지프슨 접합의 지배 방정식 $(\hbar C/2e)\ddot{\varphi} + (\hbar /2eR)\dot{\varphi} + I_{c} \sin \varphi = I_{B}$ 를 감쇠의 역할이 드러나도록 무차원화하면

\varphi '' + \alpha \varphi ' + \sin \varphi = I

이다. $\alpha > 0$ 은 무차원의 감쇠, $I \ge 0$ 은 인가된 전류다. $y = \varphi '$ 로 두면 $\varphi ' = y$ , $y' = I - \sin \varphi - \alpha y$ 이다. $\varphi$ 는 각도 변수, $y$ 는 실변수(각속도)이니 위상 공간은 원통(cylinder)이다. 오른쪽 데모의 좌우 경계는 이어져 있다.

고정점. $y^{*} = 0$ , $\sin \varphi ^{*} = I$ 이니 $I < 1$ 이면 2개, $I > 1$ 이면 없다. 야코비 행렬의 $\tau = -\alpha < 0$ , $\Delta = \cos \varphi ^{*} = \pm \sqrt{1 - I^{2}}$ 이니 하나는 안장점, 다른 하나는 싱크다. $I = 1$ 에서 안장점 갈래치기가 일어나 둘이 합쳐진다.

닫힌 궤도의 존재: 푸앵카레 사상

$I > 1$ 이면 고정점이 없다. 영점선 $y = \alpha ^{-1}(I - \sin \varphi )$ 보다 위에서는 흐름이 아래로, 아래에서는 위로 향하니 모든 궤적은 띠 $y_{1} \le y \le y_{2}$ ( $0 < y_{1} < (I - 1)/\alpha$ , $y_{2} > (I + 1)/\alpha$ )로 들어가 영원히 머문다. 띠 안에서는 $y > 0$ 이니 흐름은 늘 오른쪽이다.

높이 $y$ 에서 출발해 원통을 한 바퀴 돌고 처음 돌아온 높이를 $P(y)$ 라 하자. 이것이 푸앵카레 사상(Poincaré map) 또는 첫 반환 사상(first-return map)이다. $P(y^{*}) = y^{*}$ 인 $y^{*}$ 가 있으면 그 궤적은 닫힌 궤도다. $P(y_{1}) > y_{1}$ , $P(y_{2}) < y_{2}$ 이고, $P$ 는 연속(continuous)이며 단조(monotonic)다(단조가 아니면 두 궤적이 교차해야 한다). 따라서 중간 값 정리(intermediate value theorem), 또는 상식에 의해 $P(y)$ 의 그래프는 어딘가에서 45° 대각선을 가로지른다.

극한 주기 궤도의 고유성

원통에는 위상적으로 다른 두 종류의 주기적 궤도, 칭동(libration)과 회전(rotation)이 있다. $I > 1$ 이면 고정점이 없어 지표 이론에 의해 칭동은 불가능하다. 서로 다른 두 회전 $y_{U}(\varphi ) > y_{L}(\varphi )$ 가 있다고 하자. “에너지” $E = (1/2)y^{2} - \cos \varphi$ 는 한 바퀴 돌면 변하지 않아야 하는데 $\mathrm{d}E/\mathrm{d}\varphi = I - \alpha y$ 이니

\int _{0}^{2\pi } y(\varphi )\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi I/\alpha

가 모든 회전에 대해 성립해야 한다. 그러나 $y_{U} > y_{L}$ 이니 두 적분이 같을 수 없다. 모순이다. $I > 1$ 에 대한 회전은 고유하다. 오른쪽 데모에서 이 적분값을 직접 확인할 수 있다.

\alpha

0.30

I

1.20

y′ = 0 영점선좌우 경계 φ = 0과 2π는 같은 점(원통)

푸앵카레 사상 $P(y)$ 와 45° 대각선

같은 모임 갈래치기와 전류-전압 다른길오고감 곡선

$I > 1$ 에서 시작해 $I$ 를 천천히 줄이자. 진자를 생각하면, 구동 토크가 감소함에 따라 가장 높은 점에 도달하기가 점점 더 힘들어진다. 어느 임곗값 $I_{c} < 1$ 에서 토크는 더 이상 중력과 감쇠를 극복하지 못하고, 회전이 사라져 모든 해는 멈춘 상태로 감쇠된다.

$I_{c} < I < 1$ : 쌍안정 상태. 싱크가 안정적인 극한 주기 궤도와 공존한다. 안장점의 불안정한 다양체의 한 줄기 $U$ 는 극한 주기 궤도에 점근적으로 접근한다.
$I = I_{c}$ : 극한 주기 궤도가 $U$ 와 합쳐져 안장점에 스스로 연결된 같은 모임 궤도가 된다.
$I < I_{c}$ : 안장점 연결이 끊어지고 $U$ 는 나선형으로 싱크로 빨려 들어간다.

이 시나리오는 $\alpha$ 가 충분히 작을 때만 유효하다. $\alpha$ 가 크면 4장의 과감쇠 극한처럼 주기적 해가 무한 주기 갈래치기로 파괴된다. 종합하면 세 가지 갈래치기가 나타난다. 주기적 궤도의 같은 모임 갈래치기와 무한 주기 갈래치기, 그리고 고정점의 안장점 갈래치기다. 멜니코프(Melnikov)의 방법을 쓰면 $\alpha \ll 1$ 일 때 같은 모임 갈래치기 곡선이 직선 $I = 4\alpha /\pi$ 에 접한다는 것을 보일 수 있다.

전류-전압 곡선. 접합의 dc 전압은 평균 각속도 $\langle \varphi '\rangle$ 에 비례한다. $I$ 를 0에서 올리면 1을 넘을 때까지 전압이 0인 상태(안정된 고정점)에 머물다가, 안장점 갈래치기에서 전압이 0이 아닌 상태(극한 주기 궤도)로 점프한다. $I$ 를 다시 낮추면 극한 주기 궤도는 $I = 1$ 아래로도 지속되고, 진동수는 $[\ln (I - I_{c})]^{-1}$ 처럼 0으로 접근한다. 실제로는 불연속적으로 점프하는 것처럼 보이지만, 이 함수는 $I_{c}$ 에서 모든 미분값이 무한대가 되어 그렇게 보일 뿐이다.

안정성 그림 $(\alpha , I)$ : 누르면 그 값으로 바뀝니다. 굵은 선은 수치로 찾은 같은 모임 갈래치기 곡선

같은 모임 갈래치기(수치)근사 I = 4α/πI = 1: 안장점 갈래치기

전류-전압 곡선: $I$ 를 0 → 2 → 0으로 천천히 바꿀 때의 $\langle \varphi '\rangle$ (현재 α 사용)

I = –〈φ′〉 = –

참고문헌references

스티븐 스트로가츠, 『비선형 동역학과 카오스 2/e』 (에이콘출판사, 2025). 8장 「갈래치기 다시 보기」. 이 데모의 용어와 예제 번호는 이 번역서를 따랐습니다.
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: 2nd Edition (Westview Press, 2014). 원서.
Shane D. Ross, BZ 반응과 호프 갈래치기 강의 영상, 무한 주기 갈래치기 강의 영상.
D. Barkley, “A model for fast computer simulation of waves in excitable media,” Physica D 49, 61–70 (1991). 첫 화면의 나선파 시뮬레이션에 사용한 모형.
Phase Plane Plotter, aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html. 강의에서 Shane Ross 교수의 강의 영상을 통해 소개한 위상 평면 도구로, 더 다양한 시스템을 직접 그려 볼 수 있습니다.