제7장 극한 주기 궤도: 푸앵카레-벤딕슨 정리, 리에나르 시스템, 완화 진동

7.3

푸앵카레-벤딕슨 정리Poincaré–Bendixson theorem

이제 닫힌 궤도를 기각하는 방법을 알았으므로 반대의 일을 해보자. 특정한 시스템에 닫힌 궤도가 존재하는지 확인하는 방법이다. 이 정리는 위상 평면에서 카오스가 발생할 수 없음을 뜻하기에, 비선형 동역학의 주요한 이론적 결과 중 하나이기도 하다.

닫힌 궤도: 기각 말고 확인. 앞으로 “P-B 정리”라고 쓸 것

푸앵카레-벤딕슨 정리다음 네 가지 조건을 가정하자.

(1) $R$ 은 평면상의 닫힌 경계를 가진 부분집합이다.
(2) $\dot{x} = f(x)$ 는 $R$ 을 포함하는 열린 집합에서 연속적으로 미분 가능한 벡터장이다.
(3) $R$ 은 고정점을 포함하지 않는다.
(4) $R$ 에 ‘갇힌(confined)’ 궤적 $C$ 가 존재한다. 즉, $R$ 에서 시작해서 영원히 $R$ 에 머무르는 궤도가 있다는 뜻이다.

그러면 $C$ 는 닫힌 궤도이거나 $t \to \infty$ 인 극한에서 닫힌 궤도를 향해 나선형으로 접근한다. 어떤 경우든 $R$ 은 닫힌 궤도를 포함한다.

증명은 미묘하며 위상수학(topology)의 심화 아이디어가 필요하다([Perko 1991], [Coddington and Levinson 1955], [Hurewicz 1958], [Cesari 1963]). 닫힌 궤도는 고정점을 둘러싸고 있어야 하고 $R$ 에는 고정점이 허용되지 않으므로, $R$ 은 보통 속이 빈 고리 모양의 영역이 된다.

조건 (1)~(3)을 만족시키기는 쉽지만, 조건 (4)는 까다롭다. 표준적인 기술은 가두는 영역(trapping region) $R$ , 즉 벡터장이 $R$ 경계의 모든 곳에서 ‘내부’로 향하는 닫힌 연결된 집합을 만드는 것이다. 그러면 $R$ 에 있는 모든 궤적은 내부에 갇히게 된다. 게다가 $R$ 에 고정점이 없다는 걸 알 수 있다면, P-B 정리에 의해 $R$ 에 닫힌 궤도가 있는 것이 확실해진다.

예제 7.3.1

\dot{r} = r(1 - r^{2}) + \mu r \cos \theta ,\qquad \dot{\theta} = 1

$\mu = 0$ 이면 예제 7.1.1에서 살펴봤듯이 $r = 1$ 에서 안정적인 극한 주기 궤도가 있다. $\mu$ 가 충분히 작으면 $\mu > 0$ 일 때도 여전히 닫힌 궤도가 존재함을 보여라.

풀이. 외부 원에서는 $\dot{r} < 0$ , 내부 원에서는 $\dot{r} > 0$ 이 되도록 반지름 $r_{\mathrm{min}}$ 과 $r_{\mathrm{max}}$ 인 2개의 동심원을 찾자. 그러면 그 사이의 고리가 가두는 영역이 된다. $\dot{\theta} = 1 > 0$ 이므로 고리 내부에는 고정점이 없다.

$r = r_{\mathrm{min}}$ : $\cos \theta \ge -1$ 이므로 $1 - r^{2} - \mu > 0$ 이 충분조건이다. 제곱근이 의미가 있도록 $\mu < 1$ 일 경우 $r_{\mathrm{min}} < \sqrt{1 - \mu }$ .
$r = r_{\mathrm{max}}$ : $\cos \theta \le 1$ 이므로 $1 - r^{2} + \mu < 0$ 이 충분조건이다. 즉 $r_{\mathrm{max}} > \sqrt{1 + \mu }$ .

가능한 한 큰 $r_{\mathrm{min}}$ 과 가능한 한 작은 $r_{\mathrm{max}}$ 를 골라야 극한 주기 궤도를 가능한 한 바짝 가둘 수 있다. 예를 들어 $r_{\mathrm{min}} = 0.999\sqrt{1 - \mu }$ , $r_{\mathrm{max}} = 1.001\sqrt{1 + \mu }$ 로 고르면, $\mu < 1$ 인 모든 $\mu$ 에 대해 닫힌 궤도가 존재하며 그 궤도는 $0.999\sqrt{1 - \mu } < r < 1.001\sqrt{1 + \mu }$ 가 표현하는 고리 내부 어딘가에 있다.

이 추정은 보수적으로 잡은 것이다. 사실은 닫힌 궤도가 $\mu \ge 1$ 인 경우에도 있을 수 있다. 오른쪽에서 $\mu = 1$ 로 놓고 확인해 보자.

\mu

0.30

r_{\mathrm{min}}

r_{\mathrm{max}}

경계에서 흐름이 고리 안쪽으로 향함경계에서 흐름이 고리 밖으로 새어 나감고리 영역

두 원의 반지름을 직접 움직여 보세요. 원 위의 색은 그 점에서 $\dot{r}$ 의 부호로 정합니다. 위상 평면을 누르면 궤적이 출발합니다.

예제 7.3.2 해당과정 (glycolysis) 모형

해당과정이라 불리는 기본적인 생화학적 과정에서 살아있는 세포는 당을 분해하여 에너지를 얻는다. 손상되지 않은 효모(yeast) 세포와 효모 또는 근육 추출물에서, 해당과정은 다양한 중간체(intermediate)의 농도가 몇 분 동안 증가 및 감소하는 진동 형태로 진행될 수 있다. 이러한 진동의 간단한 모형이 셀코프[Sel’kov 1968]에 의해 제안됐다.

\dot{x} = -x + ay + x^{2}y,\qquad \dot{y} = b - ay - x^{2}y

여기서 $x$ 와 $y$ 는 각각 ADP와 F6P의 농도이고, $a, b > 0$ 은 동역학적 매개변수다. 이 시스템의 궤도를 가두는 영역을 만들어 보자.

풀이. 먼저 영점선(nullcline)들을 찾는다. $\dot{x} = 0$ 은 곡선 $y = x/(a + x^{2})$ , $\dot{y} = 0$ 은 곡선 $y = b/(a + x^{2})$ 이다. 점선으로 둘러싼 오각형이 가두는 영역 후보다. 수평, 수직인 경계면에는 문제가 없다. 까다로운 부분은 점 $(b, b/a)$ 에서 영점선 $y = x/(a + x^{2})$ 까지 이어지는 기울기 −1의 대각선이다.

이것은 어디에서 온 것일까? $x$ 가 매우 큰 극한에서 $\dot{x} \approx x^{2}y$ , $\dot{y} \approx -x^{2}y$ 이므로 궤적을 따라 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x \approx -1$ 이다. 더 정확하게 $\dot{x} - (-\dot{y}) = \dot{x} + \dot{y} = b - x$ 를 보면, $x > b$ 일 때 $-\dot{y} > \dot{x}$ 이고 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x < -1$ 이다. 궤적의 기울기가 대각선보다 더 가파르니, 벡터장은 대각선 위에서 안쪽을 가리킨다. 따라서 이 영역은 가두는 영역이다.

그러면 가두는 영역 내부에 닫힌 궤도가 있다고 결론을 내릴 수 있는가?아니다! 두 영점선이 만나는 지점에 고정점이 있으므로 P-B 정리의 조건 (3)을 만족시키지 않는다. 그러나 이 고정점이 밀개(repeller)라면, 고정점 주위에 무한소(infinitesimal) 크기의 구멍을 낸 영역을 생각해 닫힌 궤도의 존재를 증명할 수 있다. 밀개는 인접한 모든 궤적을 구멍 난 영역으로 밀어내고, 그 영역에는 고정점이 없기 때문이다.

예제 7.3.3 고정점이 밀개일 조건

고정점은 $x^{*} = b$ , $y^{*} = b/(a + b^{2})$ 이다. 이 점에서 야코비 행렬의 행렬식은 $\Delta = a + b^{2} > 0$ 이고, 대각합은

\tau=-\frac{b^{4}+(2a-1)b^{2}+(a+a^{2})}{a+b^{2}}

이다. 따라서 이 고정점은 $\tau > 0$ 일 때 불안정하고 $\tau < 0$ 일 때 안정하다. 경계 $\tau = 0$ 은 $b^{2} = (1/2)(1 - 2a \pm \sqrt{1 - 8a})$ 로, $(a, b)$ 공간에서 오른쪽 아래 그림의 곡선이다. $\tau > 0$ 인 영역에서는 시스템이 닫힌 궤도를 갖고 있음이 보장되며, 수치 적분을 통해 실제로 그것이 극한 주기 궤도임을 알 수 있다.

a

0.080

b

0.60

ẋ = 0 영점선ẏ = 0 영점선경계에서 안쪽으로 향함

고정점

매개변수 공간 $(a, b)$ : 누르면 그 값으로 바뀝니다

위상 평면에는 카오스가 없음

P-B 정리는 비선형 동역학의 중심 결과 중 하나다. 궤적이 고정점이 없는 닫힌 제한된 영역에 갇혀 있으면 결국 닫힌 궤도에 접근하게 되며, 위상 평면의 동역학적인 성질이 매우 제한적이라는 뜻이다. 그보다 더 복잡한 것은 가능하지 않다.

이 결과는 결정적으로 평면이 2차원이라는 사실 때문에 생긴다. 닫힌 궤적, 곧 1차원의 닫힌 곡선이 평면을 ‘안’과 ‘밖’으로 완벽하게 나누기 때문이다.

고차원( $n \ge 3$ ) 시스템에서는 P-B 정리가 더 이상 적용되지 않으며, 완전히 새로운 현상이 일어날 수 있다. 궤적이 고정점이나 닫힌 궤도에 정착하지 못하고 제한된 영역 내부에서 영원히 돌아다닐 수 있게 된다. 경우에 따라 궤적은 움직임이 비주기적이고 초기 조건의 작은 변화에 민감한 프랙탈(fractal) 집합인 이상한 끌개(strange attractor)로 끌려갈 수 있다. 이 민감성은 장기적인 움직임을 예측할 수 없게 만든다. 이것이 바로 카오스(chaos)다.

P-B 정리의 의미위상 평면에서 카오스는 절대 발생할 수 없다.

7.4

리에나르 시스템Liénard systems

비선형 동역학의 태동기라고 할 수 있는 1920년에서 1950년 사이에 비선형 진동에 대한 많은 연구가 있었다. 초기에는 라디오 및 진공관 기술의 발전이 동기가 되었다. 많은 진동하는 회로를 다음 형식의 2차 미분 방정식으로 모형화할 수 있음이 밝혀졌다.

\ddot{x} + f(x)\dot{x} + g(x) = 0

이것이 리에나르 방정식(Liénard's equation)이다. $f(x) = \mu (x^{2} - 1)$ , $g(x) = x$ 이면 반 데르 폴 진동자이니, 이를 일반화한 것이다. 역학적으로는 비선형 감쇠력 $-f(x)\dot{x}$ 와 비선형 복원력 $-g(x)$ 를 받는 단위 질량에 대한 운동 방정식( $F = ma = m\ddot{x}$ 에서 $m = 1$ )으로 해석할 수 있다. 속도 변수 $y = \dot{x}$ 를 도입하면 다음 시스템과 같다.

\dot{x} = y,\qquad \dot{y} = -g(x) - f(x)y

리에나르의 정리 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건들을 만족시킨다고 가정하자.

(1) $f(x)$ 와 $g(x)$ 는 모든 $x$ 에 대해 연속적으로 미분 가능하다.
(2) 모든 $x$ 에 대해 $g(-x) = -g(x)$ , 즉 $g(x)$ 는 기함수(odd function)이다.
(3) $x > 0$ 이면 $g(x) > 0$ 이다.
(4) 모든 $x$ 에 대해 $f(-x) = f(x)$ , 즉 $f(x)$ 는 우함수(even function)다.
(5) 기함수 $F(x) = \int _{0}^{x} f(u)\,\mathrm{d}u$ 는 $x = a$ 에서 정확히 하나의 양의 근을 갖고 있고, $0 < x < a$ 인 $x$ 에서는 음수인 값을 갖고 있으며 $x > a$ 에서는 감소하지 않고, $x \to \infty$ 인 극한에서 $F(x) \to \infty$ 로 발산한다.

그러면 이 시스템은 위상 평면의 원점을 둘러싼 유일하고 안정적인 극한 주기 궤도를 갖고 있다.

이 결과는 그럴듯해 보인다. $g(x)$ 에 대한 가정은 복원력이 보통의 용수철처럼 작용하고 변위(displacement)를 줄이는 경향이 있다는 뜻이다. $g(0) = 0$ 이니 원점은 항상 고정점이다. $f(x)$ 에 대한 가정은 작은 $|x|$ 에서 감쇠가 음수(증폭)이며 큰 $|x|$ 에서는 감쇠가 양수라는 뜻이다. 작은 진동은 증폭되고 큰 진동은 감쇠되니, 시스템이 스스로 지속 가능한 중간 정도의 진폭을 가진 진동으로 정착되는 경향이 있다는 것은 놀랍지 않다.

예제 7.4.1 반 데르 폴 방정식은 $f(x) = \mu (x^{2} - 1)$ , $g(x) = x$ 이므로 조건 (1)~(4)를 확실히 만족시킨다. 또 $F(x) = \mu ((1/3)x^{3} - x) = (1/3)\mu x(x^{2} - 3)$ 이니 $a = \sqrt{3}$ 에서 (5)번 조건이 만족된다. 따라서 반 데르 폴 방정식은 유일하고 안정적인 극한 주기 궤도를 갖는다.

f(x)

g(x)

\mu

1.0

$F(x) = \int _{0}^{x} f(u)\,\mathrm{d}u$ ( $x \ge 0$ )

조건을 하나라도 어기면 정리는 아무것도 보장하지 않습니다. 극한 주기 궤도가 없다는 뜻은 아닙니다. 위상 평면을 눌러 직접 확인해 보세요.

7.5

완화 진동relaxation oscillation

지금까지는 주기적 해가 있는가와 같은 정성적인 질문에 집중했다. 이제 닫힌 궤도가 존재한다면 그 모양과 주기에 대해 무엇을 말할 수 있는지에 대한 정량적(quantitative) 질문을 해보자. 반 데르 폴 방정식 $\ddot{x} + \mu (x^{2} - 1)\dot{x} + x = 0$ 에서 $\mu \gg 1$ 인, 강한 비선형 극한을 다룬다.

이 극한에서는 $x$ 의 변화가 매우 천천히 쌓였다가 갑작스럽게 사라지고, 다시 천천히 쌓이는 식으로 반복되는 극한 주기 궤도를 볼 수 있다. 느리게 쌓이는 중에 축적된 ‘변형(stress)’이 급격하게 사라지는 과정에서 ‘완화(relax)’되기 때문에 이를 완화 진동(relaxation oscillation)이라고 한다. 휘어진 바이올린 현의 습동(stick-slip) 진동에서부터 일정한 전류에 의해 동작하는 신경세포의 주기적인 발화에 이르기까지 수많은 과학적 상황에서 발생한다.

예제 7.5.1 μ ≫ 1에서의 위상 평면

일반적인 ‘ $\dot{x} = y, \dot{y} = \dots$ ’과는 다른 위상 평면 변수를 도입하는 것이 편리하다. $F(x) = (1/3)x^{3} - x$ 로 두면

\ddot{x}+\mu\dot{x}(x^{2}-1)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\dot{x}+\mu F(x)\right]

이므로 $w = \dot{x} + \mu F(x)$ 로 두면 $\dot{w} = -x$ , $\dot{x} = w - \mu F(x)$ 이다. 변수를 한 번 더 치환해 $y = w/\mu$ 로 두면

\dot{x}=\mu\left[y-F(x)\right],\qquad\dot{y}=-\frac{x}{\mu}

영점선들이 이 움직임을 이해하기 위한 열쇠다. 초기 조건이 3차 함수 영점선(cubic nullcline) $y = F(x)$ 에 너무 가깝지 않으면, 즉 $y - F(x) \sim O(1)$ 이면 $|\dot{x}| \sim O(\mu ) \gg 1$ , $|\dot{y}| \sim O(\mu ^{-1}) \ll 1$ 이다. 속도가 수평 방향으로 매우 크고 수직 방향으로는 매우 작으니 궤적은 사실상 수평으로 이동한다.

궤적이 영점선에 너무 가까워져서 $y - F(x) \sim O(\mu ^{-2})$ 에 도달하면 $\dot{x}$ 과 $\dot{y}$ 은 둘 다 $O(\mu ^{-1})$ 이 된다. 궤적은 영점선을 수직으로 가로지른 다음, 3차 함수의 ‘무릎’에 도달해서 다시 옆으로 점프할 수 있을 때까지 영점선의 해당 줄기를 따라 천천히 이동한다. 무릎 $B(1, -2/3)$ 에 도달하면 $C(-2, -2/3)$ 로 점프하고, 다시 무릎 $D(-1, 2/3)$ 까지 천천히 올라가 $A(2, 2/3)$ 로 점프한다.

이 극한 주기 궤도에는 크게 분리된 2개의 시간 척도(time scale)가 있다. 천천히 기어가는 움직임에는 $\Delta t \sim O(\mu )$ , 점프에는 $\Delta t \sim O(\mu ^{-1})$ 만큼의 시간이 걸린다.

\mu

10.0

빠른 이동(|ẋ| > 1)느린 이동3차 함수 영점선 y = F(x)

시계열 $x(t)$

수치 주기 –μ(3 − 2 ln 2) –

교재 그림 7.5.2처럼 $\mu = 10$ , 초기 조건 $(x_{0}, y_{0}) = (2, 0)$ 에서 시작합니다. μ를 줄이면 두 시간 척도의 구분이 흐려집니다.

예제 7.5.2 μ ≫ 1일 때 극한 주기 궤도의 주기

점프에 걸리는 시간 $\Delta t \sim O(\mu ^{-1})$ 은 무시할 만하므로, 주기는 2개의 느린 줄기를 따라 이동하는 데 필요한 시간이다. 대칭에 의해 각 줄기에서 소요되는 시간은 동일하므로 느린 이동에 걸리는 시간의 2배를 주기로 추정할 수 있다.

느린 줄기에서는 $y \approx F(x)$ 이므로 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t \approx F'(x)\,\mathrm{d}x/\mathrm{d}t = (x^{2} - 1)\,\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ 이다. 한편 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}t = -x/\mu$ 이므로 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t \approx -x/[\mu (x^{2} - 1)]$ , 즉 $\mathrm{d}t \approx -\mu (x^{2} - 1)/x\,\mathrm{d}x$ 이다. $x$ 가 양수인 줄기는 $x_{A} = 2$ 에서 시작해 $x_{B} = 1$ 에서 끝나므로

T\approx 2\int_{2}^{1}-\frac{\mu}{x}(x^{2}-1)\,\mathrm{d}x=2\mu\left[\tfrac{1}{2}x^{2}-\ln x\right]_{1}^{2}=\mu(3-2\ln 2)

이며, 예상대로 $O(\mu )$ 이다( $3 - 2 \ln 2 \approx 1.614$ ). 훨씬 많은 과정을 거치면 $T \approx \mu [3 - 2 \ln 2] + 2\alpha \mu ^{-1/3} + \dots$ 임을 보일 수 있다. 여기서 $\alpha \approx 2.338$ 은 $\mathrm{Ai}(-\alpha ) = 0$ 의 가장 작은 해이고, $\mathrm{Ai}(x)$ 는 에어리(Airy) 함수라 불리는 특수 함수다. 보정 항은 점프와 느린 움직임 사이에서 영점선의 구석을 도는 데 필요한 시간에서 나온다(메리 캣라이트(Mary Cartwright, 1952); [Grimshaw 1990]).

마지막 한마디: 완화 진동에서는 두 가지 시간 척도가 순차적으로 작동한다. 다음 절에서는 2개의 시간 척도가 동시에 작동하는 문제를 만나게 된다.

주기 $T$ 와 $\mu$ : 점은 브라우저에서 수치 적분으로 구한 값

수치 적분μ(3 − 2 ln 2)μ(3 − 2 ln 2) + 2αμ^−1/3

μ가 커질수록 수치값과 첫 번째 근사의 비율은 1에 다가가고, 두 번째 근사는 작은 μ에서도 훨씬 잘 맞습니다. 세로 점선은 위 데모의 현재 μ입니다.

참고문헌references

스티븐 스트로가츠, 『비선형 동역학과 카오스 2/e』 (에이콘출판사, 2025). 7장 「극한 주기 궤도」. 이 데모의 용어와 예제 번호는 이 번역서를 따랐습니다.
Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: 2nd Edition (Westview Press, 2014). 원서.
Phase Plane Plotter, aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html. 강의에서 Shane Ross 교수의 강의 영상을 통해 소개한 위상 평면 도구로, 더 다양한 시스템을 직접 그려 볼 수 있습니다.