제7장 극한 주기 궤도Limit Cycles

스스로 지속되는 진동은 어디서 오는가? 극한 주기 궤도의 정의와 안정성, 두 가지 대표 예제, 그리고 닫힌 궤도가 없음을 보이는 세 가지 방법을 직접 실험해 보며 따라가는 데모입니다. 모든 위상 평면(phase plane)은 클릭하거나 탭하면 그 지점에서 궤적(trajectory)이 출발합니다.

이 데모는 Claude Opus 5.5가 제작했으며, 경상국립대학교 물리학과 이상훈 교수의 강의노트(2026 복잡계 여름학교, 7~8장 강의)를 기반으로 합니다.

r˙=r(1−r2),θ˙=1\dot{r} = r(1 - r^{2}), \dot{\theta} = 1. 안쪽(파랑)과 바깥쪽(분홍)에서 출발한 입자가 모두 같은 원으로 모입니다. 아무 곳이나 눌러 입자를 뿌려 보세요.
7.0

극한 주기 궤도란limit cycle

극한 주기 궤도(limit cycle)는 고립된(isolated) 닫힌 궤적(closed trajectory)이다. “닫힌”은 제자리로 돌아온다(cycle)는 뜻이고, “고립된”은 인접한 궤적들은 닫히지 않았다는 뜻이다. 인접한 궤적들은 나선형으로 극한 주기 궤도를 향하거나 극한 주기 궤도로부터 멀어진다.

닫힌 궤도 자체의 안정성 (stability)

고정점에 안정성이 있듯, 닫힌 궤도에도 안정성이 있다. 오른쪽 데모에서 세 가지 경우를 바꿔 가며 궤적을 뿌려 보자.

  • 안정적(stable): 인접한 궤적을 모두 끌어당긴다(attracting).
  • 불안정(unstable): 인접한 궤적을 모두 밀어낸다.
  • 준안정적(half-stable): 접근하는 방향에 따라 다르다. 한쪽에서는 끌려오고 다른 쪽에서는 밀려난다.

과학적으로 중요한 것은 안정적인 극한 주기 궤도다. 외부에서 주기적으로 밀어 주지 않아도 진동이 유지되는 스스로 지속 가능한 진동(self-sustained oscillation)의 모형이 되기 때문이다.

외부에서 주기적으로 가하는 힘 없이 진동 가능

왜 안정해야 하는가, 그리고 왜 비선형인가

심장박동, 박동원 신경세포(pacemaker neuron)의 주기적 발화, 인체의 온도 및 호르몬 분비에 대한 일일 리듬, 자발적으로 진동하는 화학반응은 모두 생명 유지에 필수인 극한 주기 궤도의 예다. 반대로 다리(bridge)나 비행기 날개의 자려(self-exciting) 진동은 생기면 위험한 예다.

이런 진동이 지속 가능하려면 약간의 교란(perturbation)을 받아도 항상 표준 주기로 돌아가야 한다. 시스템이 선호하는 주기, 파형, 진폭이 있고, 이것은 초기 조건보다는 시스템 자체의 구조에 의해 결정된다.

극한 주기 궤도는 본질적으로 비선형(nonlinear) 현상이다. 선형 시스템 x˙=Ax\dot{x} = A x에 닫힌 궤도 x(t)x(t)가 있으면, 임의의 상수 c≠0c \neq 0에 대해 cx(t)c x(t)도 주기해다. 닫힌 궤도는 동심원의 무리로 둘러싸여 있으니 고립될 수 없다.

선형 쪽에서는 진폭이 전적으로 초기 조건으로 정해지고, 교란으로 생긴 변화가 영원히 지속된다. 왼쪽 데모에서 “교란 가하기”를 여러 번 눌러 두 시스템의 진폭을 비교해 보자.

선형 중심(center) x¨+x=0\ddot{x} + x = 0
진폭 1.00

극한 주기 궤도 r˙=r(1−r2)\dot{r} = r(1 - r^{2})
진폭 1.00

두 시스템에 같은 크기와 방향의 교란을 동시에 가합니다. 왼쪽은 새 진폭에 머무르고, 오른쪽은 다시 반지름 1로 돌아옵니다.

7.1

예제examples

각도 변수가 존재하는 주기적인 시스템은 극좌표계(polar coordinates)로 다루면 편리하다.

예제 7.1.1 간단한 극한 주기 궤도

r˙=r(1−r2),θ˙=1\dot{r} = r(1 - r^{2}),\qquad \dot{\theta} = 1

여기서 r≥0r \ge 0는 원점에서의 거리이고, 각속도는 1 rad/시간단위로 일정하다(반시계 방향). rr과 θ\theta는 완전히 분리(decouple)되어 있으니 rr만 따로 보면 1차원 흐름이다.

r˙=r(1−r2)=0\dot{r} = r(1 - r^{2}) = 0에서 고정점은 r∗=0r^{*} = 0(불안정한 고정점)과 r∗=1r^{*} = 1(안정된 고정점)이다. rr만 생각하면 “점”이지만 θ˙=1\dot{\theta} = 1로 돌고 있으니, 평면에서는 단위 원(unit circle) 궤도로 접근하게 된다.

극한 주기 궤도 위에서는 x∗(t)=r∗cos⁡θ(t)=cos⁡(t+θ0)x^{*}(t) = r^{*} \cos \theta (t) = \cos (t + \theta _{0}), 즉 일정한 진폭의 사인꼴(sinusoidal) 진동이다. 아래 그래프의 점선이 x∗(t)x^{*}(t)다.

x(t)가 x*(t)로 접근

1차원 흐름 r˙=r(1−r2)\dot{r} = r(1 - r^{2}) 위의 현재 위치

시계열 x(t)x(t)와 극한 주기 궤도 위의 해 x∗(t)=cos⁡(t+θ0)x^{*}(t) = \cos (t + \theta _{0})

위상 평면을 누르면 그 점이 새 초기 조건이 됩니다. 원점 근처나 아주 바깥에서 출발해 보세요.

예제 7.1.2 반 데르 폴 진동자 (van der Pol oscillator)

x¨+μ(x2−1)x˙+x=0,μ≥0\ddot{x} + \mu (x^{2} - 1)\dot{x} + x = 0,\qquad \mu \ge 0

최초의 라디오에 사용된 비선형 전기 회로와 관련해서 나타난 방정식으로, 비선형 동역학의 발전에서 중심적인 역할을 했다. μ(x2−1)x˙\mu (x^{2} - 1)\dot{x} 항이 없으면 감쇠 없는 단순 조화 진동자 x¨+x=0\ddot{x} + x = 0이다.

이 항은 비선형 감쇠(nonlinear damping)로, 사실은 감쇠와 증폭이 모두 일어난다.

  • ∣x∣>1|x| > 1: μ(x2−1)>0\mu (x^{2} - 1) > 0이니 양의 감쇠. 진폭이 크면 줄인다.
  • ∣x∣<1|x| < 1: μ(x2−1)<0\mu (x^{2} - 1) < 0이니 음의 감쇠. 진폭이 작으면 키운다.

그래서 한 주기 동안 소실된 에너지와 공급된 에너지가 균형을 이루는 곳에서 스스로 지속 가능한 진동으로 자리 잡는다. 각각의 μ>0\mu > 0에 대해 고유한 안정적인 극한 주기 궤도를 갖는다(7.4절에서 살펴볼 더 일반적인 정리, 리에나르의 정리를 따른다).

데모의 기본값은 μ=1.5\mu = 1.5, 초기 조건 (x,x˙)=(0.5,0)(x, \dot{x}) = (0.5, 0)이다. μ\mu를 키우면 궤도는 찌그러지고, x(t)x(t)는 더는 깔끔한 사인꼴 진동이 아니게 된다.

|x| < 1: 음의 감쇠(에너지 공급)|x| > 1: 양의 감쇠(에너지 소실)

시계열 x(t)x(t)

추정 주기 –최대 진폭 –

위상 평면을 눌러 다른 초기 조건에서도 같은 궤도로 모이는지 확인해 보세요.

7.2

닫힌 궤도 기각하기ruling out closed orbits

이번 절의 목표는 주기해가 없음을 보이는 것이다. 6장에서 지표 이론(index theory)을 이용한 방법을 소개했고, 여기서는 세 가지 방법을 더 살펴본다.

방법 1. 기울기 시스템 (gradient system)

x˙=−∇V\dot{x} = -\nabla V

로 쓸 수 있는 시스템을 기울기 시스템이라 한다. 여기서 V(x)V(x)는 연속적으로 미분 가능한 일가(single-valued) 스칼라 함수, 즉 퍼텐셜(potential)이다.

정리 7.2.1기울기 시스템에서는 닫힌 궤도가 있을 수 없다.

증명. 닫힌 궤도가 있다고 가정하고, 한 바퀴(t=0→Tt = 0 \to T)를 돌았다고 하자. VV는 일가 함수이니 같은 점으로 돌아오면 ΔV=0\Delta V = 0이어야 한다. 한편

ΔV=∫0T(∇V⋅x˙) dt=−∫0T∥x˙∥2 dt<0\Delta V = \int _{0}^{T} (\nabla V \cdot \dot{x})\,\mathrm{d}t = -\int _{0}^{T} \|\dot{x}\|^{2}\,\mathrm{d}t < 0

이다(모든 순간 x˙≡0\dot{x} \equiv 0인 경우, 즉 닫힌 궤도가 아니라 고정점인 경우를 제외하면). 모순이다.

문제점은 대부분의 2차원 시스템이 기울기 시스템이 아니라는 것이다. 다만 1차원 직선상의 모든 벡터장은 기울기 시스템이고, 이것이 2.6절과 2.7절에서 본 “선 위의 흐름”이 진동할 수 없는 이유다.

예제 7.2.1 x˙=sin⁡y,y˙=xcos⁡y\dot{x} = \sin y, \dot{y} = x \cos y. 퍼텐셜 V(x,y)=−xsin⁡yV(x, y) = -x \sin y를 생각하면 −∇V=(sin⁡y,xcos⁡y)-\nabla V = (\sin y, x \cos y)이므로 기울기 시스템이고, 닫힌 궤도가 없다.

y는 각도 변수(angular variable)이므로 주기적 경계조건(periodic boundary condition, PBC)을 적용
V > 0(높은 곳)V < 0(낮은 곳)배경: V=−xsin⁡yV = -x \sin y

궤적을 따라 잰 퍼텐셜 V(x(t),y(t))V(x(t), y(t))

어디서 출발하든 VV는 줄어들기만 합니다. 같은 점으로 돌아올 수 없다는 뜻입니다. 위아래 경계는 이어져 있습니다(yy는 주기 2π).

예제 7.2.2 비선형 감쇠 진동자와 “에너지 같은” 함수

x¨+(x˙)3+x=0\ddot{x} + (\dot{x})^{3} + x = 0

기울기 시스템은 아니지만 비슷한 기술을 쓴다. “에너지 같은” 함수 E(x,x˙)=(1/2)(x2+x˙2)E(x, \dot{x}) = (1/2)(x^{2} + \dot{x}^{2})를 도입하자. EE는 일가 함수이므로, 주기해가 있다면 한 주기 동안 ΔE=0\Delta E = 0이어야 한다. 그런데

dEdt=xx˙+x˙x¨=x˙(x+x¨)=−(x˙)4≤0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=x\dot{x}+\dot{x}\ddot{x}=\dot{x}(x+\ddot{x})=-(\dot{x})^{4}\le 0

이므로 x˙≡0\dot{x} \equiv 0(고정점)이 아니라면 ΔE<0\Delta E < 0이다. 모순이므로 주기해는 없다.

(ẋ)³ 항에 의해 매우, 매우 천천히 원점으로 수렴

오른쪽 E(t)E(t) 그래프에서 감소 속도가 지수적이 아니라 점점 느려지는 것을 확인할 수 있다. 원점 근처에서는 감쇠가 x˙3\dot{x}^{3}으로 매우 약하기 때문이다.

에너지 같은 함수 E(t)=(1/2)(x2+x˙2)E(t) = (1/2)(x^{2} + \dot{x}^{2}), 원은 EE의 등고선

방법 2. 리아푸노프 함수 (Liapunov function)

“에너지 같은 함수”를 일반화한 것이다. x˙=f(x)\dot{x} = f(x)가 x∗x^{*}에 고정점을 갖는다고 가정하자. 이때 다음 성질을 가진, 연속적으로 미분 가능한 실숫값(real-valued) 함수 V(x)V(x)를 찾을 수 있다고 하자.

(1) 모든 x≠x∗x \neq x^{*}에 대해 V(x)>0V(x) > 0이고, V(x∗)=0V(x^{*}) = 0이다. (양의 정부호(positive definite))

(2) 모든 x≠x∗x \neq x^{*}에 대해 V˙<0\dot{V} < 0이다. (모든 궤적이 x∗x^{*}를 향해 “내리막”으로 흘러간다)

그러면 x∗x^{*}는 모든 초기 조건에 대해 t→∞t \to \infty일 때 x(t)→x∗x(t) \to x^{*}가 되는, 즉 전 구간에서 점근적으로 안정된 고정점이다. 특히 이런 시스템에는 닫힌 궤도가 없다(증명: Jordan & Smith, 1987).

VV를 찾는 체계적인 방법은 없다. 감? 신성한 영감(divine inspiration)? 다만 “제곱한 것들을 더하는 방식”이 종종 작동한다.

예제 7.2.3 x˙=−x+4y,y˙=−x−y3\dot{x} = -x + 4y, \dot{y} = -x - y^{3}. 신성한 영감으로 V=x2+ay2V = x^{2} + ay^{2}을 시도하면

V˙=−2x2+(8−2a)xy−2ay4\dot{V} = -2x^{2} + (8 - 2a)xy - 2ay^{4}

이다. 오른쪽에서 aa를 움직여 분홍 영역(V˙>0\dot{V} > 0)이 사라지는 값을 찾아보자.

V̇ > 0(오르막: 조건 위반)V̇ < 0(내리막)타원: VV의 등고선
현재

궤적은 항상 원점으로 나선을 그리며 들어갑니다. 원점의 야코비 행렬(Jacobian)은 A=(−14−10)\begin{gathered}A = \begin{pmatrix}-1 & 4 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\end{gathered}, λ2+λ+4=0\lambda ^{2} + \lambda + 4 = 0이니 λ=−1/2±(15/2)i\lambda = -1/2 \pm (\sqrt{15}/2) i: 안정한 나선(stable spiral)이자 끌개(attractor)입니다. 하지만 이 국소 분석만으로는 닫힌 궤도가 없다는 결론을 낼 수 없습니다.

방법 3. 둘락 기준 (Dulac's criterion)

그린 정리(Green's theorem)를 기반으로 한다. 사실상 2차원 발산 정리(divergence theorem)이며, (dx,dy)→(dy,−dx)(\mathrm{d}x, \mathrm{d}y) \to (\mathrm{d}y, -\mathrm{d}x)로 바꾸면 둘은 동등(equivalent)하다.

x˙=f(x)\dot{x} = f(x)가 평면의 단순하게 연결된(simply connected) 부분집합 RR에서 정의된 연속적으로 미분 가능한 벡터장이라 하자. ∇⋅(gx˙)\nabla \cdot (g \dot{x})가 RR에서 하나의 부호만 갖는 연속적으로 미분 가능한 실숫값 함수 g(x)g(x)가 존재하면, RR에 완전히 포함된 닫힌 궤도는 없다.

단순하게 연결되었다는 것은 공간 내부에 공간에 속하지 않는 구멍(hole)이 없다는 뜻이다.

증명. RR 안에 닫힌 궤도 CC가 있다고 가정하고, 그 내부 영역을 AA라 하자. 발산 정리에 의해

∬A∇⋅(gx˙) dA=∮Cgx˙⋅n^ dl=0\iint _{A} \nabla \cdot (g\dot{x})\,\mathrm{d}A = \oint _{C} g \dot{x}\cdot \hat{n}\,\mathrm{d}l = 0

이다. CC가 궤적이므로 정의상 x˙\dot{x}는 바깥 법선(normal) n^\hat{n}에 수직이라 우변은 0이다. 그런데 좌변의 피적분 함수는 하나의 부호만 가지니 0이 될 수 없다. 모순이므로 CC는 있을 수 없다.

리아푸노프 방법처럼 gg를 찾는 알고리듬은 없다. 종종 쓸 만한 후보는 g=1,1/(xayb),eax,eayg = 1, 1/(x^{a}y^{b}), e^{\mathrm{ax}}, e^{\mathrm{ay}} 등이다.

예제 7.2.4 x˙=x(2−x−y),y˙=y(4x−x2−3)\dot{x} = x(2 - x - y), \dot{y} = y(4x - x^{2} - 3)에 대해 x,y>0x, y > 0인 양의 사분면에 닫힌 궤도가 없음을 보이자. 신성한 영감으로 g=1/(xy)g = 1/(xy)를 고르면 ∇⋅(gx˙)=−1/y<0\nabla \cdot (g \dot{x}) = -1/y < 0이다.

∇·(gẋ) < 0∇·(gẋ) > 0영역 R: 양의 사분면

부호가 섞인 gg를 고르면 둘락 기준은 아무 결론도 내리지 못합니다. 닫힌 궤도가 있다는 뜻은 아닙니다. 궤적은 모두 (1,1)(1, 1)의 안정한 나선으로 들어갑니다.

참고문헌references

  1. 스티븐 스트로가츠, 『비선형 동역학과 카오스 2/e』 (에이콘출판사, 2025). 7장 「극한 주기 궤도」. 이 데모의 용어와 예제 번호는 이 번역서를 따랐습니다.
  2. Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: 2nd Edition (Westview Press, 2014). 원서.
  3. D. W. Jordan and P. Smith, Nonlinear Ordinary Differential Equations, 2nd ed. (Oxford University Press, 1987). 리아푸노프 함수에 관한 정리의 증명.
  4. Phase Plane Plotter, aeb019.hosted.uark.edu/pplane.html. 강의에서 Shane Ross 교수의 강의 영상을 통해 소개한 위상 평면 도구로, 더 다양한 시스템을 직접 그려 볼 수 있습니다.