허브와 모멘트Hubs, the Largest Hub, and Diverging Moments

실제 네트워크는 유한하므로, “척도 없는” 네트워크라도 당연히 무한대의 크기가 아닌 가장 큰 허브(링크수가 가장 많은 노드)가 있다. $k$의 최댓값 $k_{\mathrm{max}}$는 어떻게 계산할 수 있을까?

추론. 노드 $N$개 중에서 $k$가 $k_{\mathrm{max}}$ 이상인 노드가 평균적으로 1개 이하라면 거기가 사실상의 최댓값일 것이다. 곧 $\int _{k_{\mathrm{max}}}^{\infty } p(k)\,\mathrm{d}k = 1/N$.

• 지수함수 분포 $p(k) = \lambda e^{\lambda k_{\mathrm{min}}}e^{-\lambda k}$: $k_{\mathrm{max}} = k_{\mathrm{min}} + (\ln N)/\lambda$. $N$에 대해 매우 천천히 증가하는 함수라서 $k_{\mathrm{max}}$가 $k_{\mathrm{min}}$과 크게 다르지 않다. 푸아송 분포는 차이가 지수함수 분포보다 더 작다! 링크수 분포의 “자연 절단(natural cutoff)”이 자연스럽게 “사실상” 없어지는 부분이다.
• 거듭제곱 분포 $p(k) = (\gamma - 1)k_{\mathrm{min}}^{\gamma -1}k^{-\gamma }$: $(k_{\mathrm{max}}/k_{\mathrm{min}})^{\gamma -1} = N$이니

이다. $k_{\mathrm{max}}$가 $N$에 대해 다항함수로 증가한다. 큰 척도 없는 네트워크에서 $k_{\mathrm{max}}$가 $k_{\mathrm{min}}$에 비해 수십, 수백, 수천 배 또는 그 이상으로 클 수 있다는 것이다. $\gamma > 2$이면 기울기 $1/(\gamma - 1) < 1$이니 $k_{\mathrm{max}} = N - 1$보다는 느리다.

오른쪽에서는 공식과 함께, 실제로 분포에서 $N$개를 뽑았을 때의 최댓값을 점으로 찍었다. 같은 $N$에서도 뽑을 때마다 최댓값이 크게 출렁이는 것이 두꺼운 꼬리의 특징이다.

링크수 분포의 $n$번째 모멘트(moment)는

• $n = 1$: 평균 링크수 $\langle k\rangle$.
• $n = 2$: 링크수가 얼마나 퍼져 있는지를 측정하는 분산(variance) $\sigma _{k}^{2} = \langle k^{2}\rangle - \langle k\rangle ^{2}$, 표준편차(standard deviation) $\sigma _{k}$를 계산하는 데 필요하다.
• $n = 3$: $p_{k}$가 평균값 근처에서 얼마나 대칭적인지를 알려주는 분포의 비대칭도(skewness)를 결정한다.

척도 없는 네트워크의 경우

이다. $N \to \infty$이면 $k_{\mathrm{max}} = k_{\mathrm{min}}N^{1/(\gamma -1)} \to \infty$이니, $\langle k^{n}\rangle$의 행동은 $n - \gamma + 1$의 부호에 따라 결정된다.

• $n - \gamma + 1 < 0$: $k_{\mathrm{max}}^{n-\gamma +1} \to 0$이 되어 $n < \gamma - 1$인 모든 모멘트는 유한하다.
• $n - \gamma + 1 \ge 0$: $k_{\mathrm{max}}^{n-\gamma +1} \to \infty$가 되어 $n$이 $\gamma - 1$ 이상인 모든 모멘트는 발산한다($n = \gamma - 1$이면 $\int k^{-1}\,\mathrm{d}k = \ln k_{\mathrm{max}} - \ln k_{\mathrm{min}}$이니 $\log k_{\mathrm{max}} \propto \log N$으로 천천히, 하지만 결국은 발산한다).

많은 척도 없는 네트워크에서 링크수 지수 $\gamma$가 2와 3 사이에 있다. 그러면 $N \to \infty$ 극한에서 $\langle k\rangle$는 유한하지만 $\langle k^{2}\rangle , \langle k^{3}\rangle , \dots$는 무한대로 발산한다!