두 점전하 사이의 Coulomb 법칙에서 시작해, 전기 쌍극자의 전기장과 퍼텐셜을 거쳐, 고리와 원판에 연속적으로 분포한 전하까지 다룹니다. 모든 그림은 직접 움직일 수 있습니다. 전하를 끌어 보고 슬라이더를 움직여 보세요.
강의 노트의 기본 내용을 정리하고, 직접 실험해 볼 수 있는 놀이터를 준비했습니다.
전하는 기본 전하의 정수배로만 존재합니다. 즉, 양자화되어 있습니다.
전자의 전하는 −e, 양성자는 +e, 중성자는 0입니다. 전하는 보존됩니다. 이동할 수는 있지만 없던 것이 생기거나 있던 것이 사라지지는 않습니다. 한 점을 지나 흐르는 전하의 비율이 전류 i = dq/dt입니다.
도체에서는 전하가 자유롭게 움직이고, 절연체에서는 움직이지 못하며, 반도체는 그 중간입니다.
F는 q₂가 받는 힘이고, r̂은 q₁에서 q₂ 쪽으로 향하는 단위벡터입니다. 부호가 같으면 밀어내고(척력, r̂ 방향), 다르면 끌어당깁니다(인력, −r̂ 방향). Newton의 제3법칙(작용·반작용)에 따라 q₁이 받는 힘은 −F입니다. 전하가 여럿이면 힘을 벡터로 더합니다: Fnet = F₁₂ + F₁₃ + ⋯.
ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)은 진공의 유전율이고, k는 정전기 상수(Coulomb 상수)입니다.
여기서 r̂은 상대 질량에서 멀어지는 방향이므로, 음의 부호 때문에 중력은 두 물체를 끌어당깁니다. 1/r²은 기하학에서 나옵니다. 한 점에서 퍼져 나가는 것은 넓이 4πr²인 구면에 고르게 나뉘기 때문입니다.
지표면 근처에서는 r ≈ RE이므로 Fg = G mEm/r² ≈ m(G mE/RE²) = mg이고, g ≈ 9.8 m/s²입니다.
전하가 균일하게 퍼져 있는 구면 껍질은, 껍질 바깥의 대전 입자에 대해 마치 모든 전하가 중심에 모여 있는 것처럼 끌어당기거나 밀어냅니다. 껍질 안쪽의 대전 입자가 받는 알짜 힘은 0입니다.
이 결과는 나중에 배울 Gauss 법칙으로 깔끔하게 유도됩니다.
두 전하는 서로의 “존재”를 어떻게 알까요? 각 전하가 주변에 전기장을 만들고, 다른 전하가 그 전기장과 상호작용하여 힘을 받는다고 설명합니다. E는 시험전하 q₀의 단위 전하당 받는 힘이며, 단위는 N/C입니다.
Faraday의 전기력선은 접선 방향이 E의 방향이며, 양전하에서 시작해 음전하에서 끝납니다. 전기장도 벡터로 더합니다: E = E₁ + E₂ + ⋯.
기준은 V(∞) = 0입니다. 퍼텐셜은 스칼라이므로 그냥 수로 더하면 되어 벡터 덧셈보다 훨씬 쉽고, 전기장은 E = −∇V로 구합니다.
두 전하의 퍼텐셜 에너지는 U = k q₁q₂/r입니다. 부호가 같으면 양수, 다르면 음수이며, 전하가 더 많으면 모든 쌍에 대해 더합니다.
두 힘 모두 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다. 하지만 전하는 부호가 두 가지라서 전기력은 끌어당길 수도 밀어낼 수도 있는 반면, 질량은 언제나 m ≥ 0이므로 중력은 끌어당기기만 합니다. 그리고 입자 사이에서는 전기력이 압도적으로 강합니다.
입자 쌍
전하와 시험전하 q₀를 끌어 보세요. 각 전하의 화살표는 다른 모든 전하가 작용하는 Coulomb 힘(가는 선, 힘을 작용하는 전하의 색)과 그 벡터 합(굵은 선)입니다. q₀의 파란 화살표는 그곳의 E입니다. 퍼텐셜을 켜면 등퍼텐셜선이 전기력선과 직각으로 만나는 모습을 볼 수 있습니다.
시작 배치
표시
선택한 전하
시험전하 q₀ = 1 nC의 위치에서
크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 ±q가 거리 d만큼 떨어져 있는 것이 전기 쌍극자입니다. 물 분자가 대표적인 예로, 산소 쪽은 약간 음(−), 수소 쪽은 약간 양(+)을 띱니다.
쌍극자 중심에서 축을 따라 거리 z인 곳에서 두 전하의 전기장은 서로 반대 방향입니다.
z ≫ d이면 d/2z ≪ 1이므로 마지막 인수는 거의 1입니다. − 에서 + 로 향하는 전기 쌍극자 모멘트 p = qd를 쓰면
멀리서 보면 +와 −가 거의 상쇄되어 효과가 없어지므로, 전기장은 단일 전하의 1/z²보다 급격하게 1/z³으로 줄어듭니다. 로그–로그 그래프에서 기울기가 −2가 아니라 −3입니다. 퍼텐셜은 한 차수 느린 1/r²로 줄어드는데, E = −∂V/∂z에서 z의 차수가 하나 더 붙기 때문입니다.
벡터 dE를 더하거나, 스칼라 dV를 더한 뒤 기울기(gradient)를 취합니다. 축 위에서는 대칭성 덕분에 벡터로 더하기도 쉽습니다. 하지만 P를 축에서 벗어나게 하면 옆 방향 성분이 더 이상 상쇄되지 않고, 퍼텐셜은 여전히 단순한 스칼라 합입니다.
두 그래프 모두 P를 지나는 같은 직선을 따라 그렸습니다. 점이 P입니다.
P에서 V의 접선 기울기는 −Es, 즉 그 직선 방향 전기장 성분의 음수입니다. 한 방향씩 본 E = −∇V입니다.
거꾸로, P에서의 V는 P에서 무한대까지 Es 아래의 색칠한 넓이입니다: V(∞) = 0일 때 V = −∫∞P E·ds.
축을 포함하는 단면(x–z 평면)입니다. 색과 자홍색 곡선은 V, 파란 화살표는 E = −∇V로, 언제나 등퍼텐셜선을 가로질러 내리막 방향을 가리킵니다. 클릭하면 P를 옮기거나 시험전하의 출발점을 정할 수 있습니다.
고리의 중심을 보세요. 등퍼텐셜선이 X자로 교차하는 안장점입니다. 그곳의 전기장은 0이지만, V는 고리 평면에서는 도선 쪽으로 커지고 축을 따라서는 작아집니다.
완전 타원 적분(산술–기하 평균으로 계산)을 이용한 고리의 정확한 해로 계산했습니다. 원판은 이런 고리를 많이 더해 만듭니다.
질량 m = 1, 전하 ±1인 시험전하가 정지 상태에서 출발하여 고리나 원판의 정확한 전기장 속에서 F = QE를 따라 움직입니다. 중심에서 살짝 밀어 그곳의 안정성을 확인하거나, 원하는 곳에서 놓아 보세요.
출발점
위 지도에서 “출발점 지정”을 고른 뒤 클릭해도 정할 수 있습니다.
시험전하 놓기
강의 노트를 따라갑니다. 상자 안의 식이 결과입니다.
조각마다 Coulomb 법칙을 쓰고 대칭성 이용
조각마다 퍼텐셜을 구한 뒤 미분
3장부터의 수치는 ke = 1/(4πε₀) = 1인 단위를 씁니다. 고리는 q = 1, 원판은 σ/(2ε₀) = 1이므로 원판의 총 전하 q = σπR²은 R에 따라 커집니다. 원판의 식은 강의 노트처럼 z ≥ 0에 대해 썼습니다. 원판 아래에서 V는 z에 대한 짝함수, Ez는 홀함수입니다. 축 바깥에서 원판은 정확한 고리 400개를 수치적으로 더해 계산합니다.