손글씨 강의 노트를 바탕으로 만든 인터랙티브 학습 페이지입니다. 축전기(capacitor)는 +q와 −q를 띤, 전기적으로 고립된 두 도체입니다. 전기용량(capacitance)은 1볼트당 얼마나 많은 전하를 저장할 수 있는지를 나타냅니다. 아래에서 직접 축전기를 충전해 보세요.
경상국립대학교 물리학과 이상훈 교수의 강의 노트를 바탕으로 Claude Opus 5.5가 제작했습니다.
축전기(capacitor)는 전하를 분리해 전기 에너지를 저장했다가 필요할 때 방출합니다. 카메라 플래시가 바로 이렇게 작동합니다. 축전기에 저장되는 전하량은 양단의 전위차(potential difference)에 비례합니다.
비례상수 C를 전기용량(capacitance)이라고 합니다. 단위는 쿨롱/볼트(C/V)이며, 이를 패럿(farad, F)이라 부릅니다. 중요한 점은 C가 q나 V와는 무관하고 극판의 기하학적 모양(geometry)에만 의존한다는 것입니다. 그래서 진정한 비례상수입니다.
스위치를 닫으면 전지가 극판에 전하를 밀어 넣어, 축전기의 전위차가 전지의 전위차와 같아질 때까지 충전(charging)됩니다. 스위치를 열면 +, − 전하가 그대로 유지됩니다. 그다음 램프를 켜서 방전(discharging)해 보세요.
여기서는 충전 과정을 부드러운 곡선으로만 표현했습니다. 실제 시간에 따른 변화는 나중에 저항(resistance)이 포함된 회로(RC 회로)에서 배웁니다.
노란 점은 전류(conventional current)의 방향을 나타냅니다. 극판 사이의 틈으로는 전하가 건너가지 않습니다.
노트에 나오는 모든 전기용량 계산은 같은 흐름을 따릅니다. 전하를 가정하고, 그 전하가 만드는 전기장(electric field)을 구하고, 전기장을 적분해 전위차를 구한 뒤, 나누면 됩니다.
모양을 고르고 치수를 바꿔 보면서 전기용량이 어떻게 변하는지 확인하세요. 아래 유도 과정은 앞의 4단계를 그대로 따릅니다.
평행판 축전기(parallel-plate capacitor): A가 매우 넓으면 각 극판을 무한 도체 평면처럼 생각할 수 있어 E가 균일(uniform)합니다. 위 극판을 감싸는 가우스 면(Gaussian surface)에서 ε0EA = q이므로 E = q/ε0A(상수)입니다. 극판 사이를 적분하면 V = Ed이고, ε0EA = C(Ed)가 됩니다.
원통형 축전기(cylindrical capacitor): 반지름 r, 길이 L인 원통형 가우스 면에서 ε0E(2πrL) = q이므로 E = q/2πε0Lr입니다. b에서 a까지 적분하면 V = (q/2πε0L) ln(b/a)입니다(로그의 성질 −ln(a/b) = ln(b/a) 이용). 동축 케이블(coaxial cable)이 바로 이 모양입니다.
구형 축전기(spherical capacitor): 구형 가우스 면에서 ε0E(4πr²) = q이고, 이는 쿨롱 법칙(Coulomb's law)과 같습니다. 그러면 V = (q/4πε0)(1/a − 1/b)입니다. b → ∞는 바깥 껍질이 무한히 멀리 있다는(즉 바깥 껍질이 없다는) 뜻이며, ab/(b−a) → a입니다.
축전기로 이루어진 어떤 회로든, 전지에서 같은 양의 전하를 끌어오는 하나의 축전기로 바꿔 생각할 수 있습니다. 이 축전기의 전기용량을 등가 전기용량(equivalent capacitance) Ceq라고 합니다.
병렬연결(parallel): 모든 축전기에 같은 V가 걸리므로 전하가 더해집니다. 직렬연결(series): 이웃한 축전기 사이의 부분은 고립되어 있으므로 전하가 보존되어야 합니다. 한쪽이 +q면 다른 쪽은 항상 −q입니다. 따라서 모든 축전기의 q가 같고, 전위차가 더해집니다. 산의 높이가 산을 오르는 경로를 따라 변하는 높이의 합인 것과 같습니다(중력 퍼텐셜의 경우).
주의: 나중에 배울 저항(resistor)은 이와 반대입니다. 저항은 직렬일 때 더해지고, 병렬일 때 역수의 합의 역수가 됩니다. 헷갈리지 않도록 조심하세요!
축전기를 충전하려면 일(work)이 필요합니다. 이미 q′만큼 옮긴 상태에서 미소량 dq′를 더 옮길 때 해야 하는 일은 dW = V′dq′ = (q′/C)dq′입니다. 직관적으로, q′가 쌓일수록 V′가 높아져서 에너지를 쌓기가 (정확히 q′에 비례해서) 어려워집니다. 이 조각들을 모두 더한 것이 직선 아래의 넓이이며, 이것이 축전기에 저장된 퍼텐셜 에너지(potential energy) U입니다.
이 식은 축전기 모양과 무관합니다. 모양은 C 값 자체에만 반영됩니다.
조각을 늘릴수록 계단 모양이 삼각형, 즉 적분값에 가까워집니다.
평행판 축전기에서는 전기장이 균일하므로, 단위 부피당 퍼텐셜 에너지인 에너지 밀도 u도 균일합니다. 부피 Ad로 나누면:
u = UAd = CV²2Ad = 12ε0(V/d)²
이 마지막 식은 극판 사이뿐 아니라 일반적으로 성립합니다. 전기장 E가 있는 곳이면 어디든, 단위 부피당 이만큼의 전기 퍼텐셜 에너지가 공간에 저장되어 있습니다.
기름이나 플라스틱 같은 절연체 물질을 유전체(dielectric)라고 합니다. 극판 사이를 유전체로 완전히 채우면 전기용량이 유전상수(dielectric constant) κ("카파")배 증가합니다.
여기서 ℒ은 길이의 차원을 가진 양으로 축전기의 기하학적 모양에만 의존합니다(평행판이면 A/d). 엄밀하게는 진공을 기준으로 해야 하지만, 공기의 κ = 1.00054로 진공과 거의 같습니다. q = CV는 여전히 성립하므로, 그다음 일어나는 일은 전지가 연결되어 있는지에 따라 달라집니다. 전지로 V가 유지되면 q가 κ배 증가하고, 전지가 없어 전하를 공급할 수 없으면 전하량 보존으로 V가 1/κ배로 줄어듭니다.
고정 조건: A = 100 cm², d = 1 mm, 변화 전에 12 V로 충전.
유전체 속 분자들은 전기 쌍극자(electric dipole)입니다. 물이 대표적인 극성 분자(polar molecule)입니다. 외부 전기장 E₀가 토크(torque)를 가해 쌍극자 모멘트(dipole moment)를 정렬시킵니다. 이를 분극(polarization)이라고 합니다. 정렬된 쌍극자는 + 극판 바로 아래에 −q′, − 극판 바로 위에 +q′의 유도 전하(induced charge)를 남기고, 이 전하가 외부 전기장과 반대 방향의 장 E′을 만듭니다. 전체 전기장은 벡터합 E = E₀ − E′(방향 반대)입니다. 도체에서는 정확히 E′ = −E₀가 되어 내부의 E = 0이 되는 것입니다!
그래서 유전상수 κ인 물질 안에서는 가우스 법칙을 다음과 같이 씁니다.
이를 ε0∮E·dA = q − q′와 비교하면 q − q′ = q/κ를 얻습니다. 유전체 속 점전하 주변의 전기장 E = q/4πκε0r²과, 유전체에 잠겨 있는 고립된 도체 바로 바깥의 전기장 σ/κε0는 모두 진공에서의 값을 κ로 나눈 것입니다. 즉 유전체는 전기장을 약화시키고, 퍼텐셜 차가 줄어들기 때문에 C가 커져서 q를 유지시킵니다. 노트에서는 D = κE(전기 변위장, electric displacement)로 썼는데, 표준 SI 관례에서는 ε₀를 포함해 D = κε₀E로 정의하여 ∮D·dA = q자유(free charge)가 되게 합니다.
q가 일정할 때(전지 분리) U는 U/κ로 줄어들고, 줄어든 에너지는 전기장이 유전체를 끌어당기며 한 일입니다. 노트의 설명 그대로입니다. 전지가 연결된 경우에도 U는 κU로 커지지만, 유전체는 밀려나는 것이 아니라 여전히 안쪽으로 끌려 들어갑니다. 이때 전지가 (κ−1)CV²의 에너지를 공급하는데, 그 절반은 저장 에너지 증가에, 나머지 절반은 유전체를 끌어당기는 일에 쓰입니다. 어느 경우든 힘을 써서 밀어 넣을 필요는 없습니다.
간격 d인 극판 사이 가운데에 두께 b, 유전상수 κ인 유전체 판(slab)을 넣습니다. 극판과 유전체 사이(i 지점)의 전기장은 q/ε0A이고, 유전체 내부(ii 지점)에서는 q/κε0A로 줄어듭니다. 퍼텐셜은 공기 부분에서는 가파르게, 유전체 부분에서는 완만하게 떨어집니다.
V = qε0A(d − b) + qκε0Ab ⇒
극한 확인: b → 0이면 ε₀A/d, b = d이면 κε₀A/d.
고정 조건: A = 100 cm², d = 1 mm. 그래프 단위는 q/ε₀A(전기장)와 qd/ε₀A(퍼텐셜)이며, x는 + 극판에서 − 극판 방향입니다.